Задачи и упражнения ЗАДАНИЕ 7 В прямоугольном треугольнике с углом 20° найдите углы, которые медиана, проведённая к гипотенузе, образует: а) с катетами прямоугольного треугольника; б) с гипотенузой прямоугольного треугольника. Решение: C

Решение:

a) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 20°, угол C = 90°, и медиана BM проведена к гипотенузе AC.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть BM = AM = MC. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и углы при основании равны: угол ABM = угол BAM = 20°.

Угол между медианой BM и катетом BC равен углу между медианой и катетом BC:

Угол MBC = угол ABC - угол ABM.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, следовательно, угол ABC = 180° - угол BAC - угол ACB = 180° - 20° - 90° = 70°.

Угол MBC = 70° - 20° = 50°.

Угол между медианой BM и катетом AB равен 20°.

б) Поскольку треугольник ABM равнобедренный (BM = AM), угол между медианой BM и гипотенузой AC равен углу AMB.

Угол AMB является внешним углом треугольника BМC, поэтому он равен сумме двух углов, не смежных с ним: угол AMB = угол MBC + угол BCM = 50° + 90° = 140°.

Следовательно, углы, которые медиана образует с гипотенузой, равны 140° и (180°-140°) = 40°.

Ответ:

a) Угол между медианой и катетом AB равен 20°, угол между медианой и катетом BC равен 50°.

б) Углы, которые медиана образует с гипотенузой, равны 40° и 140°.

Проверка за 10 секунд: Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Используйте свойства равнобедренных треугольников и углов в прямоугольном треугольнике, чтобы найти искомые углы.

Читерский прием: Всегда помните, что медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине этой гипотенузы. Это свойство ключевое для решения подобных задач!