Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна 5, а радиус основания — 3. 2. Найдите объем кругового конуса высотой 5 и радиусом основания 3,2. 3. Объем конуса равен 400 см³, а радиус основания — 5 см. Найдите высоту конуса. 4. Найдите массу железного стержня длиной 1,75 см и диаметром сечения 20 мм (плотность железа 7,8 г/см³). 5. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна, диаметр которой равен 18 м и высота 7 м, если плотность нефти 0,85 г/см³? 6. Радиус основания конуса равен 48 см, высота — 189 см. Найдите объем конуса и площадь его боковой поверхности. 7. Определите объем вырытой в земле конической воронки, образующая которой равна 2 м, а длина окружности — 8 м. 8. Из куба выточен шар наибольшего радиуса. Сколько процентов ма- териала сточено? 9. В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона а основания которой равна ее высоте һ, т.е. а = h. Найдите объем шара.

Ответ: смотри решение

• Объем цилиндра: \(V = \pi r^2 h\), где \(r = 3\) и \(h = 5\).
• \(V = \pi (3^2) (5) = 45\pi\)

• Объем конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r = 3.2\) и \(h = 5\).
• \(V = \frac{1}{3} \pi (3.2^2) (5) = \frac{1}{3} \pi (10.24) (5) = \frac{51.2}{3} \pi \approx 17.07\pi\)

• Объем конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V = 400\) см³ и \(r = 5\) см.
• Выразим высоту: \(h = \frac{3V}{\pi r^2} = \frac{3 \cdot 400}{\pi \cdot 5^2} = \frac{1200}{25\pi} = \frac{48}{\pi} \approx 15.28\) см.

• Переведем диаметр в радиус: \(r = \frac{20}{2} = 10\) мм = 1 см.
• Объем стержня: \(V = \pi r^2 h = \pi (1^2) (1.75) = 1.75\pi\) см³.
• Масса стержня: \(m = \rho V = 7.8 \cdot 1.75\pi \approx 42.9\) г.

• Переведем радиус в метры: \(r = \frac{18}{2} = 9\) м.
• Объем цистерны: \(V = \pi r^2 h = \pi (9^2) (7) = 567\pi\) м³.
• Плотность нефти: \(\rho = 0.85\) г/см³ = 850 кг/м³.
• Масса нефти: \(m = \rho V = 850 \cdot 567\pi \approx 1521645\) кг = 1521.645 тонн.

• Объем конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (48^2) (189) = 145152\pi \approx 455852\) см³.
• Образующая конуса: \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{48^2 + 189^2} = \sqrt{2304 + 35721} = \sqrt{38025} = 195\) см.
• Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi r l = \pi (48) (195) = 9360\pi \approx 29400\) см².

• Длина окружности основания: \(C = 2 \pi r = 8\) м, тогда радиус \(r = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi}\) м.
• Высота конуса: \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{4}{\pi})^2} = \sqrt{4 - \frac{16}{\pi^2}} \approx 1.73\) м.
• Объем воронки: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{4}{\pi})^2 (1.73) = \frac{1}{3} \pi \frac{16}{\pi^2} (1.73) = \frac{16 \cdot 1.73}{3\pi} \approx 2.94\) м³.

• Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда радиус шара равен \(r = \frac{a}{2}\).
• Объем куба: \(V_{\text{куба}} = a^3\).
• Объем шара: \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}\).
• Процент сточенного материала: \(\frac{V_{\text{куба}} - V_{\text{шара}}}{V_{\text{куба}}} \cdot 100\% = \frac{a^3 - \frac{\pi a^3}{6}}{a^3} \cdot 100\% = (1 - \frac{\pi}{6}) \cdot 100\% \approx 47.64\%\).

Ответ: смотри решение