Задача 2. В равнобедренном ДАВС с основанием АС на сторонах АВ и ВС отмечены соответственно точки Ми № так, что ∠ACM = ∠CAN. Докажите, что: а) ДМВП - равнобедренный; 6) ВО 1 ΜΝ (Ο - точка пересечения АN и СМ). Задача 3. Треугольники АВС и DEF - равнобедренные и равные. Найти периметр ДАВС, если DE = 4 см, EF = 5 см. Задача 4. Дано: АВ = АМ, AC = AK, ∠BAK ZCAM.

Привет! Разбираемся с задачками по геометрии. Сейчас всё решим!

Задача 2

К сожалению, в условии задачи 2 допущена опечатка. Предполагаю, что пункт а) должен звучать как "ΔAMBN - равнобедренный".

Доказательство:

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, такие, что ∠ACM = ∠CAN.

Логика такая:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Обозначим ∠ACM = ∠CAN = α.
3. Тогда ∠BAM = ∠BAC - ∠CAN = ∠BAC - α и ∠BCN = ∠BCA - ∠ACM = ∠BCA - α.
4. Следовательно, ∠BAM = ∠BCN.
5. Рассмотрим треугольники AMB и CNB: AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC), ∠BAM = ∠BCN (доказано выше), ∠ABM = ∠CBN (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
6. Следовательно, треугольники AMB и CNB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).
7. Из равенства треугольников следует, что AM = CN и BM = BN.
8. Так как BM = BN, то треугольник MBN равнобедренный.

б) BO ⊥ MN (O - точка пересечения AN и CM)

Доказательство:

Логика такая:

1. Пусть O - точка пересечения AN и CM.
2. Рассмотрим треугольник AOC: ∠OAC = ∠OCA = α (по условию).
3. Следовательно, треугольник AOC равнобедренный с основанием AO = CO.
4. Рассмотрим треугольники AOM и CON: AM = CN (из доказательства в пункте а), ∠OAM = ∠OCN = α, AO = CO (доказано выше).
5. Следовательно, треугольники AOM и CON равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).
6. Из равенства треугольников следует, что ∠AMO = ∠CNO.
7. Так как треугольник MBN равнобедренный, то углы при основании MN равны: ∠BMN = ∠BNM.
8. Рассмотрим углы ∠BMO и ∠BNO: ∠BMO = ∠BMN - ∠AMO и ∠BNO = ∠BNM - ∠CNO.
9. Следовательно, ∠BMO = ∠BNO.
10. Рассмотрим треугольники BMO и BNO: BM = BN (как стороны равнобедренного треугольника MBN), ∠BMO = ∠BNO (доказано выше), BO - общая сторона.
11. Следовательно, треугольники BMO и BNO равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).
12. Из равенства треугольников следует, что ∠BOM = ∠BON.
13. Так как ∠BOM и ∠BON смежные, то ∠BOM + ∠BON = 180°.
14. Следовательно, ∠BOM = ∠BON = 90°.
15. Таким образом, BO ⊥ MN.

Задача 3

Треугольники ABC и DEF - равнобедренные и равные. Найти периметр ΔABC, если DE = 4 см, EF = 5 см.

Логика такая:

1. Так как треугольники ABC и DEF равны, то их стороны равны.
2. Так как треугольник DEF равнобедренный, то либо DE = EF, либо DE - боковая сторона, a EF - основание.
3. Если DE = EF = 4 см, то треугольник DEF равносторонний, что противоречит условию (так как ABC и DEF равнобедренные, а не равносторонние).
4. Следовательно, DE - боковая сторона, a EF - основание.
5. Тогда AB = BC = DE = 4 см и AC = EF = 5 см.
6. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 4 + 4 + 5 = 13 см.

Задача 4

Дано: AB = AM, AC = AK, ∠BAK = ∠CAM.

Необходимо доказать равенство треугольников BAK и CAM.

Логика такая:

1. Рассмотрим треугольники BAK и CAM: AB = AM (по условию), AC = AK (по условию), ∠BAK = ∠CAM (по условию).
2. Следовательно, треугольники BAK и CAM равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).

Ответ: Задача решена!

Проверка за 10 секунд: Убедись, что ты знаешь признаки равенства треугольников и умеешь их применять.

Запомни: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.