Задача №№16 В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года, за исключением января 2028 года, когда проценты не начисляются; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 78000 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть S - сумма кредита.

Так как кредит будет погашен четырьмя равными платежами, обозначим размер каждого платежа за x.

По условию, общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 78 000 рублей больше суммы, взятой в кредит. Тогда:

$$4x = S + 78000$$

Выразим S:

$$S = 4x - 78000$$

Запишем условия погашения кредита по годам:

2026 год:

В январе долг увеличивается на 25%, то есть умножается на 1,25. В июле выплачивается платёж x.

$$1.25S - x$$

2027 год:

В январе долг увеличивается на 25%, то есть умножается на 1,25. В июле выплачивается платёж x.

$$1.25(1.25S - x) - x$$

2028 год:

$$1.25(1.25(1.25S - x) - x) - x$$

2029 год:

В январе долг увеличивается на 25%, то есть умножается на 1,25. В июле выплачивается платёж x. После этого долг погашен.

$$1.25(1.25(1.25(1.25S - x) - x) - x) - x = 0$$

Раскроем скобки и выразим S:

$$1.25^4S - 1.25^3x - 1.25^2x - 1.25x - x = 0$$ $$1.25^4S = 1.25^3x + 1.25^2x + 1.25x + x$$ $$1.25^4S = x(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)$$ $$S = \frac{x(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)}{1.25^4}$$

Приравняем два выражения для S:

$$4x - 78000 = \frac{x(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)}{1.25^4}$$

Домножим обе части уравнения на $$1.25^4$$:

$$4x \cdot 1.25^4 - 78000 \cdot 1.25^4 = x(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)$$

Перенесём всё в левую часть:

$$4x \cdot 1.25^4 - x(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1) - 78000 \cdot 1.25^4 = 0$$ $$x(4 \cdot 1.25^4 - (1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)) - 78000 \cdot 1.25^4 = 0$$ $$x(4 \cdot 1.25^4 - 1.25^3 - 1.25^2 - 1.25 - 1) = 78000 \cdot 1.25^4$$ $$x = \frac{78000 \cdot 1.25^4}{4 \cdot 1.25^4 - 1.25^3 - 1.25^2 - 1.25 - 1}$$

Упростим выражение:

$$1.25 = \frac{5}{4}$$ $$x = \frac{78000 \cdot (\frac{5}{4})^4}{4 \cdot (\frac{5}{4})^4 - (\frac{5}{4})^3 - (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4}) - 1}$$ $$x = \frac{78000 \cdot \frac{625}{256}}{4 \cdot \frac{625}{256} - \frac{125}{64} - \frac{25}{16} - \frac{5}{4} - 1}$$ $$x = \frac{78000 \cdot 625}{4 \cdot 625 - 4 \cdot 125 - 16 \cdot 25 - 64 \cdot 5 - 256}$$ $$x = \frac{78000 \cdot 625}{2500 - 500 - 400 - 320 - 256}$$ $$x = \frac{78000 \cdot 625}{1024}$$ $$x = \frac{48750000}{1024} = 47607.421875$$

Найдем S:

$$S = 4x - 78000$$ $$S = 4 \cdot 47607.421875 - 78000$$ $$S = 190429.6875 - 78000$$ $$S = 112429.6875$$

Так как в ответе нужно указать целое число, округлим до целых:

$$S ≈ 112430$$

Ответ: 112430