3. Задача: Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к высоте, равна 9 ем. Найдите основание треугольника. Билет №7. 1. Сформулируйте определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Сделайте чертежи. 2. Сформулируйте определение серединного перпендикуляра к отрезку. Докажите свойство серединного перпендикуляра к отрезку, 3. Задача: Даны окружность с центром О радиеса 4.5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9см. Билет №8. 1. Прямоугольный треугольник и его стороны (определение). Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника. Сделайте чертежи, 2. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. Задача: Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольник АВС пересекает боковые стороны в точках М и №. Докажите что греугольник АМ№ равнобедренный. Билет №9. 1. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Сделайте чертежи. 2. Сформулируйте и докажите свойства равнобедренного треугольника. 3. Задача: На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Доказать, что ВЕ равно СЕ. Болена №10. 1. Дайте определение окружности, её элементов (пентр, радиус, диаметр, хорда, дуга). 2. Сформулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. 3. Задача: Углы треугольника относятся ка 1:2:3. Найдите углы этого треугольника. Билет №11. 1. Как называются углы, образованные при перепечении двух прямых секущей. Сделайте чертёж. 2. Окружность, вписанная в треугольник (определение). Докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. 3. Задача: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса АЕ и высота АН. Найдите углы треугольника АЕН, если угол В равен 1120. Балет №12. 1. Сформулируйте признаки равенства треугольников. Сделайте чертежи. 2. Сформулируйте и докажите свойство мелианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Билет №7

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

   Биссектриса треугольника — это отрезок, проведённый из вершины угла треугольника к противоположной стороне и делящий этот угол пополам.

   Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение.

   Сделайте чертежи (самостоятельно).

2. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

   Свойство серединного перпендикуляра: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

3. Дано: Окружность с центром O, радиус R = 4.5 см, точка A, OA = 9 см, AM и AN - касательные к окружности.

   Найти: ∠MAN.

   Решение:

   Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, ∠OMA = ∠ONA = 90°.

   Рассмотрим четырехугольник AMON. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

   ∠MAN + ∠OMA + ∠ONA + ∠MON = 360°

   ∠MAN + 90° + 90° + ∠MON = 360°

   ∠MAN + ∠MON = 180°

   Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. Синус угла ∠OAM равен отношению противолежащего катета (OM) к гипотенузе (OA):

   sin(∠OAM) = OM / OA = 4.5 / 9 = 1/2

   Следовательно, ∠OAM = 30° (так как sin(30°) = 1/2).

   Аналогично, ∠OAN = 30°.

   ∠MAN = ∠OAM + ∠OAN = 30° + 30° = 60°.

Билет №8

1. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой (равен 90°). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

   Свойства прямоугольного треугольника:

   • Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
   • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
   • Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

   Сделайте чертежи (самостоятельно).

2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180°.

3. Доказательство: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, и прямая MN параллельна BC (M лежит на AB, N лежит на AC).

   Углы ∠ABC и ∠AMN соответственные при параллельных прямых MN и BC и секущей AB, следовательно, ∠ABC = ∠AMN.

   Аналогично, углы ∠ACB и ∠ANM соответственные при параллельных прямых MN и BC и секущей AC, следовательно, ∠ACB = ∠ANM.

   Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.

   Следовательно, ∠AMN = ∠ANM.

   Таким образом, треугольник AMN также равнобедренный с основанием MN.

Билет №9

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

   • По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

   Сделайте чертежи (самостоятельно).

2. Свойства равнобедренного треугольника:

   • Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
   • Биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.

3. Дано: AE - биссектриса угла A, точки B и C на сторонах угла A, ∠AEC = ∠AEB.

   Доказать: BE = CE.

   Доказательство:

   Рассмотрим треугольники ABE и ACE. У них:

   • AE - общая сторона,
   • ∠BAE = ∠CAE (так как AE - биссектриса),
   • ∠AEB = ∠AEC (по условию).

   Следовательно, треугольники ABE и ACE равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

   Из равенства треугольников следует, что BE = CE.

Билет №10

1. Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (центра).

   Элементы окружности:

   • Центр — заданная точка, от которой равноудалены все точки окружности.
   • Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
   • Диаметр — отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на окружности. Диаметр равен двум радиусам.
   • Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
   • Дуга — часть окружности, заключенная между двумя точками на окружности.

2. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:

   • Соответственные углы равны.
   • Накрест лежащие углы равны.
   • Односторонние углы в сумме составляют 180°.

   Доказательство: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. (Доказательство самостоятельно)

3. Пусть углы треугольника относятся как 1:2:3. Обозначим углы как x, 2x и 3x.

   Сумма углов треугольника равна 180°:

   x + 2x + 3x = 180°

   6x = 180°

   x = 30°

   Тогда углы треугольника равны:

   • 30°
   • 60°
   • 90°

Билет №11

1. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, называются:

   • Соответственные углы
   • Накрест лежащие углы
   • Односторонние углы

   Сделайте чертёж (самостоятельно).

2. Окружность, вписанная в треугольник — это окружность, касающаяся всех сторон треугольника.

   (Теорема об окружности, вписанной в треугольник - самостоятельно)

3. Дано: ABC - равнобедренный треугольник (AB = BC), AE - биссектриса угла A, AH - высота, ∠B = 112°.

   Найти: Углы треугольника AEH.

   Решение:

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

   ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 112°) / 2 = 68° / 2 = 34°

   Так как AE - биссектриса угла A, то:

   ∠EAH = ∠A / 2 = 34° / 2 = 17°

   AH - высота, следовательно, треугольник AHC прямоугольный и ∠AHC = 90°.

   Следовательно, ∠HEA = 90° - ∠EAH = 90° - 17° = 73°.

   Тогда углы треугольника AEH равны:

   • ∠EAH = 17°
   • ∠HEA = 73°
   • ∠AHE = 90°

Билет №12

1. Признаки равенства треугольников:

   • По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   • По стороне и двум прилежащим к ней углам: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   • По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

   Сделайте чертежи (самостоятельно).

2. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.