Задача 5 Студент выучил 20 вопросов из 40. Преподаватель на зачете задает ему 3 вопроса. Если студент отвечает на 3 вопроса подряд, то получает зачет. Какова вероятность получить зачет?

Разбираемся:

• Всего студент знает 20 вопросов из 40.
• На зачете ему задают 3 вопроса.
• Для получения зачета нужно ответить на все 3 вопроса верно.

Логика такая:

1. Шаг 1: Вычислим вероятность ответить правильно на первый вопрос.

   Вероятность правильного ответа на первый вопрос равна отношению количества выученных вопросов к общему количеству вопросов:

   \[ P_1 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \]

2. Шаг 2: Вычислим вероятность ответить правильно на второй вопрос, при условии, что на первый вопрос ответили правильно.

   Если студент ответил на первый вопрос правильно, то остается 19 выученных вопросов из 39 оставшихся:

   \[ P_2 = \frac{19}{39} \]

3. Шаг 3: Вычислим вероятность ответить правильно на третий вопрос, при условии, что на первые два вопроса ответили правильно.

   Если студент ответил на первые два вопроса правильно, то остается 18 выученных вопросов из 38 оставшихся:

   \[ P_3 = \frac{18}{38} = \frac{9}{19} \]

4. Шаг 4: Вычислим общую вероятность ответить на все три вопроса правильно.

   Общая вероятность равна произведению вероятностей ответить правильно на каждый из вопросов:

   \[ P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{39} \cdot \frac{9}{19} = \frac{1 \cdot 19 \cdot 9}{2 \cdot 39 \cdot 19} = \frac{9}{2 \cdot 39} = \frac{9}{78} = \frac{3}{26} \]

Ответ: \(\frac{3}{26}\)