Задача Каши 4 y3 y" = y² - 16 y = (0)=2√2 y'=(0)=

Задача Коши:

$$4y^3y'' = y^4-16$$

Начальные условия:

$$y(0) = 2\sqrt{2}$$

$$y'(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Решение:

Запишем уравнение в виде:

$$4y^3\frac{d^2y}{dx^2} = y^4 - 16$$

Введём замену $$v = y' = \frac{dy}{dx}$$, тогда $$y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx} = v\frac{dv}{dy}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$4y^3v\frac{dv}{dy} = y^4 - 16$$

$$4y^3vdv = (y^4 - 16)dy$$

Разделим переменные:

$$v dv = \frac{y^4 - 16}{4y^3} dy$$

$$v dv = (\frac{y}{4} - \frac{4}{y^3}) dy$$

Интегрируем обе части:

$$\int v dv = \int (\frac{y}{4} - \frac{4}{y^3}) dy$$

$$\frac{v^2}{2} = \frac{y^2}{8} + \frac{2}{y^2} + C_1$$

$$v^2 = \frac{y^2}{4} + \frac{4}{y^2} + 2C_1$$

$$v^2 = \frac{y^4 + 16}{4y^2} + 2C_1$$

$$v = \pm \sqrt{\frac{y^4 + 16}{4y^2} + 2C_1}$$

Используем начальные условия: $$y(0) = 2\sqrt{2}$$ и $$y'(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$.

$$v(0) = y'(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^4 + 16}{4(2\sqrt{2})^2} + 2C_1}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{64 + 16}{32} + 2C_1$$

$$\frac{1}{2} = \frac{80}{32} + 2C_1$$

$$\frac{1}{2} = \frac{5}{2} + 2C_1$$

$$2C_1 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{4}{2} = -2$$

$$C_1 = -1$$

Тогда

$$v = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{y^4 + 16}{4y^2} - 2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{y^4 - 8y^2 + 16}{4y^2}}$$

$$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{(y^2-4)^2}{4y^2}}$$

$$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{|y^2 - 4|}{2|y|}$$

Поскольку $$y(0) = 2\sqrt{2} > 2$$ то $$y^2>4$$ и

$$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{y^2 - 4}{2y}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 4}{2y}$$

$$\frac{2y}{y^2 - 4} dy = dx$$

$$\int \frac{2y}{y^2 - 4} dy = \int dx$$

$$\ln|y^2-4| = x + C_2$$

$$y^2 - 4 = Ae^x$$

$$y^2 = 4 + Ae^x$$

Используем начальное условие $$y(0) = 2\sqrt{2}$$

$$(2\sqrt{2})^2 = 4 + Ae^0$$

$$8 = 4 + A$$

$$A=4$$

$$y^2 = 4 + 4e^x$$

$$y^2 = 4(1 + e^x)$$

$$y = \pm 2 \sqrt{1+e^x}$$

Используем то, что $$y(0) = 2\sqrt{2}$$

$$y = 2 \sqrt{1+e^x}$$

Ответ: $$y = 2 \sqrt{1+e^x}$$