Задача 9. (МОШ, 2019, 9) Четыре резистора, амперметр и вольтметр подключили к идеальной батарейке с U0 = 9 В, как показано на рисунке. Найдите показания идеальных приборов, если R = 1 Ом.

Решение:

Для начала определим, как соединены резисторы.

• Два резистора сопротивлением R включены параллельно.
• Полученный параллельный участок соединён последовательно с резистором R.
• Этот участок соединён параллельно с резистором 4R.
• Вольтметр подключен параллельно к последнему параллельному участку (то есть к резистору 4R).
• Амперметр подключен последовательно с одним из параллельных резисторов R.

Рассчитаем общее сопротивление цепи:

1. Сопротивление двух параллельно соединенных резисторов R: \( R_{12} = \frac{R · R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2} \).
2. Резистор R последовательно с участком \( R_{12} \): \( R_{123} = R + R_{12} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} \).
3. Этот участок параллельно с резистором 4R: \( R_{4} = \frac{R_{123} · 4R}{R_{123} + 4R} = \frac{\frac{3R}{2} · 4R}{\frac{3R}{2} + 4R} = \frac{6R^2}{\frac{3R + 8R}{2}} = \frac{6R^2}{\frac{11R}{2}} = \frac{12R}{11} \).

Теперь найдём токи и напряжения:

1. Общий ток, выходящий из батарейки: \( I_{общ} = \frac{U_0}{R_{4}} = \frac{9 °}{\frac{12R}{11}} = \frac{99}{12R} = \frac{33}{4R} \).
2. Напряжение на участке с резистором 4R (показание вольтметра): \( U_V = I_{общ} · 4R = \frac{33}{4R} · 4R = 33 ° \).
3. Ток, протекающий через участок \( R_{123} \) (последовательно с ним): \( I_{123} = \frac{U_0 - U_V}{R_{123}} \). Напряжение на резисторе 4R равно напряжению на всем участке R123+4R, то есть U_0. Ток через резистор 4R: \( I_{4R} = \frac{U_0}{4R} = \frac{9}{4 · 1} = 2.25 \u00B0 \). Ток через участок \( R_{123} \) равен \( I_{общ} - I_{4R} = \frac{33}{4} - 2.25 = 8.25 - 2.25 = 6 \u00B0 \).
4. Этот ток \( I_{123} = 6 \u00B0 \) делится на два резистора R, которые соединены параллельно. Так как они одинаковые, ток делится поровну: \( I_A = \frac{I_{123}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \u00B0 \).

Подставим значение R = 1 Ом:

• Напряжение, которое показывает вольтметр: \( U_V = 33 ° \).
• Сила тока, которую показывает амперметр: \( I_A = 3 \u00B0 \).

Ответ: показания амперметра: 3 А, показания вольтметра: 33 В.