Задача 8 #1296. Решите при всех значениях параметра а уравнение ax – 3 = a² - 2x.

Решение:

Дано уравнение \( ax - 3 = a^2 - 2x \).

Перенесём все члены с \( x \) в левую часть, а остальные — в правую:

\[ ax + 2x = a^2 + 3 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(a + 2) = a^2 + 3 \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( a + 2 \neq 0 \) (то есть \( a \neq -2 \)), то можно разделить обе части уравнения на \( (a + 2) \):
   \[ x = \frac{a^2 + 3}{a + 2} \]
2. Если \( a + 2 = 0 \) (то есть \( a = -2 \)), то уравнение примет вид:
   \[ x(0) = (-2)^2 + 3 \]
   \[ 0 = 4 + 3 \]
   \[ 0 = 7 \]

   Это равенство неверно, следовательно, при \( a = -2 \) уравнение не имеет решений.

Ответ: Если \( a \neq -2 \), то \( x = \frac{a^2 + 3}{a + 2} \); если \( a = -2 \), то решений нет.