Задача 75: На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный, AC = BC.
• AB — основание.
• M — точка на основании AB.
• M равноудалена от боковых сторон AC и BC. Это значит, что расстояние от M до AC равно расстоянию от M до BC. Обозначим это расстояние как 'h'.

Доказать:

• CM — высота треугольника ABC.

Доказательство:

Чтобы доказать, что CM — высота, нам нужно показать, что CM ⊥ AB, то есть угол CMB (или CMA) равен 90 градусов.

1. Проведем перпендикуляры из точки M к боковым сторонам AC и BC. Пусть MP ⊥ AC и MK ⊥ BC, где P лежит на AC, а K лежит на BC.
2. По условию, M равноудалена от AC и BC, значит, MP = MK.
3. Рассмотрим треугольники CMP и CMK.
• CM — общая гипотенуза для обоих треугольников.
• MP = MK (по условию).
• ∠ CPM = ∠ CKM = 90° (по построению).
4. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), треугольники CMP и CMK равны.
5. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны, то есть ∠ PCM = ∠ KCM.
6. Это значит, что CM является биссектрисой угла C.
7. В равнобедренном треугольнике ABC (где AC = BC), биссектриса, проведенная из вершины C к основанию AB, является также и медианой, и высотой.
8. Следовательно, CM ⊥ AB, и CM является высотой треугольника ABC.

Доказано.