Задача 7-2. В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника, расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы расставить числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 в шести кружках так, чтобы сумма чисел на каждой из трех сторон треугольника равнялась 100. Каждая сторона треугольника состоит из трёх кружков, при этом угловые кружки являются частью двух сторон.

Сначала найдём сумму всех чисел: \( 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 201 \).

Сумма трёх сторон треугольника равна \( 3 \times 100 = 300 \). Разница между суммой сторон и суммой всех чисел \( 300 - 201 = 99 \) — это сумма чисел в трёх угловых кружках, которые учтены дважды.

Теперь нужно подобрать числа в углы так, чтобы сумма угловых чисел была 99, и при этом оставшиеся числа (которые будут на серединах сторон) дали в сумме по 100 с угловыми числами.

Пробуем расставить числа. Пусть угловыми будут числа: 31, 33, 35.

• Сумма угловых чисел: \( 31 + 33 + 35 = 99 \).
• Оставшиеся числа: 32, 34, 36.
• Проверка сторон:
• Сторона 1 (верхняя): \( 31 + \text{среднее} + 33 = 100 \) → \( \text{среднее} = 100 - 31 - 33 = 36 \).
• Сторона 2 (левая): \( 31 + \text{среднее} + 35 = 100 \) → \( \text{среднее} = 100 - 31 - 35 = 34 \).
• Сторона 3 (правая): \( 33 + \text{среднее} + 35 = 100 \) → \( \text{среднее} = 100 - 33 - 35 = 32 \).

Мы получили числа 36, 34, 32, которые совпадают с оставшимися числами. Таким образом, расстановка верна.

Изображение треугольника с расставленными числами:

Ответ: Числа расставлены следующим образом: наверху 31, слева внизу 33, справа внизу 35. На серединах сторон: слева от 31 — 36, справа от 31 — 32, между 33 и 35 — 34.