Задача 6 Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев под сложные проценты 18% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Вычислить наращенную сумму по истечении срока.

Решение:

Для вычисления наращенной суммы при сложных процентах, начисляемых ежеквартально, используем следующую формулу:

\( S = P(1 + i)^n \)

Где:

• \( S \) — наращенная сумма;
• \( P \) — первоначальная сумма (основная сумма долга);
• \( i \) — процентная ставка за период;
• \( n \) — количество периодов начисления процентов.

Исходные данные:

• \( P = 20 000 000 \) руб.
• Годовая процентная ставка = 18% = 0.18
• Срок кредита = 28 месяцев

Расчеты:

1. Определим процентную ставку за период (квартал):
   Так как проценты начисляются ежеквартально, а годовая ставка составляет 18%, то ставка за квартал будет: \( i = \frac{18\%}{4} = 4.5\% = 0.045 \)
2. Определим количество периодов начисления процентов:
   Срок кредита составляет 28 месяцев. В году 4 квартала, значит, в 28 месяцах будет: \( n = \frac{28 \text{ месяцев}}{3 \text{ месяца/квартал}} = 9.33 \) квартала.
3. Важное замечание: В реальной банковской практике, если срок кредита не кратен периоду начисления процентов, остаток срока может трактоваться по-разному. Чаще всего, если проценты начисляются ежеквартально, а срок составляет 28 месяцев, то полных кварталов будет 9 (27 месяцев), а оставшийся 1 месяц может быть рассчитан по простой ставке или капитализация произойдет за 9 полных периодов. Однако, для строгого математического расчета сложных процентов, когда периоды не совпадают, требуется более точное условие. Если мы примем, что капитализация происходит за полные кварталы, то \( n = 9 \). Если же предполагается, что период 28 месяцев разбивается на 9 полных кварталов и один неполный месяц, то расчет усложняется. В школьных задачах обычно предполагается, что \( n \) - целое число периодов. В данном случае, 28 месяцев – это 7 полных кварталов (7 * 3 = 21 месяц), и 7 месяцев остается. Или 9 полных кварталов (9 * 3 = 27 месяцев) и 1 месяц остается. Давайте предположим, что \( n \) = 9 полных кварталов, а оставшийся месяц будет учтен иначе, или, что более вероятно для этой задачи, что 28 месяцев это 7 полных кварталов, что составляет 21 месяц, и остаток 7 месяцев, что опять же не является целым числом кварталов. Давайте предположим, что 28 месяцев - это 7 периодов по 4 месяца. Но ведь сказано ежеквартально. Давайте примем, что 28 месяцев / 12 месяцев/год = 2.33 года. 2.33 года * 4 квартала/год = 9.33 квартала. Часто в таких задачах округляют до ближайшего целого или считают полные периоды. Если считать полные кварталы, то 28 месяцев = 9 полных кварталов (27 месяцев). Допустим, \( n = 9 \) периодов.
4. Рассчитаем наращенную сумму:
   \( S = 20 000 000 \cdot (1 + 0.045)^9 \)
   \( S = 20 000 000 \cdot (1.045)^9 \)
   \( S \approx 20 000 000 \cdot 1.477455 \)
   \( S \approx 29 549 100 \) руб.

Примечание: Если бы период начисления был 7 кварталов (21 месяц), то \( S = 20 000 000 \cdot (1.045)^7 \approx 27 194 921 \) руб. Если срок 28 месяцев трактовать как 7 периодов по 4 месяца, то ставка за период составила бы \( 18 \% \cdot \frac{4}{12} = 6 \% \) и \( n = 7 \). Тогда \( S = 20 000 000 \cdot (1.06)^7 \approx 30 200 400 \) руб. Исходя из условия «28 месяцев» и «ежеквартально», наиболее корректным является расчет \( n \approx 9.33 \) периодов. Если задача предполагает целочисленное количество периодов, то 9 кварталов (27 месяцев) — наиболее вероятное условие.

Ответ: 29 549 100 руб.