Задача №6. В параллелограмм с острым углом 30° вписана окружность радиуса 2,5 Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

В параллелограмм можно вписать окружность только тогда, когда он является ромбом. Следовательно, данный параллелограмм — это ромб.

У ромба все стороны равны. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла на большую диагональ, равна диаметру вписанной окружности. Однако, нам дан острый угол, поэтому нужно использовать другую формулу.

Радиус вписанной окружности \( r = 2,5 \). Диаметр вписанной окружности \( d = 2r = 2 \cdot 2,5 = 5 \).

Высота ромба \( h \) равна диаметру вписанной окружности. Значит, \( h = 5 \).

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.

Один из углов ромба равен \( 30^{\circ} \). Высота, опущенная из вершины тупого угла, связана со стороной и углом следующим образом: \( h = a \cdot \sin(\alpha) \), где \( \alpha \) — острый угол ромба.

Подставим известные значения: \( 5 = a \cdot \sin(30^{\circ}) \).

Так как \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \), получим: \( 5 = a \cdot \frac{1}{2} \).

Отсюда найдем сторону ромба: \( a = 5 \cdot 2 = 10 \).

Теперь найдем площадь ромба: \( S = a \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \).

Альтернативный способ:

Площадь ромба также можно найти как \( S = a^2 \cdot \sin(\alpha) \), где \( a \) — сторона ромба, \( \alpha \) — любой угол ромба.

Мы нашли сторону \( a = 10 \) и знаем угол \( \alpha = 30^{\circ} \).

\( S = 10^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \).

Ответ: 50.