Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. x = √36-y², x=6-√36-y²

Решение:

Данные уравнения описывают две кривые:

1. \( x = \sqrt{36 - y^2} \) — это правая половина окружности с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение окружности \( x^2 + y^2 = R^2 \). При \( x = \sqrt{36 - y^2} \) имеем \( x^2 = 36 - y^2 \), что переходит в \( x^2 + y^2 = 36 \).
2. \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \) — это другая кривая. Выразим корень: \( \sqrt{36 - y^2} = 6 - x \). Возведём обе части в квадрат: \( 36 - y^2 = (6 - x)^2 \) \( 36 - y^2 = 36 - 12x + x^2 \) \( -y^2 = -12x + x^2 \) \( y^2 = 12x - x^2 \). Это уравнение не соответствует стандартной форме окружности или прямой. Однако, если вернуться к \( \sqrt{36 - y^2} = 6 - x \), то правая часть \( 6 - x \) должна быть неотрицательной, то есть \( 6 - x \ge 0 \) или \( x \le 6 \). Также под корнем \( 36 - y^2 \ge 0 \), что означает \( y^2 \le 36 \) или \( -6 \le y \le 6 \).

Рассмотрим обе кривые в системе координат:

Первая кривая \( x = \sqrt{36 - y^2} \) — это полуокружность в правой полуплоскости (где \( x >= 0 \)), потому что \( x \) берётся как положительный корень. Это правая половина окружности \( x^2 + y^2 = 36 \).

Вторая кривая \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \). При \( y=0 \), \( x = 6 - \sqrt{36} = 6 - 6 = 0 \). При \( y = \pm 6 \), \( x = 6 - \sqrt{36 - 36} = 6 \). Точки (0,0) и (6, ±6).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно найти точки их пересечения.

Приравняем правые части уравнений:

\( \sqrt{36 - y^2} = 6 - \sqrt{36 - y^2} \)

\( 2\sqrt{36 - y^2} = 6 \)

\( \sqrt{36 - y^2} = 3 \)

Возведём в квадрат:

\( 36 - y^2 = 9 \)

\( y^2 = 36 - 9 \)

\( y^2 = 27 \)

\( y = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} \)

Подставим \( y^2 = 27 \) в любое из уравнений, например, в \( x = \sqrt{36 - y^2} \):

\( x = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \)

Таким образом, точки пересечения: \( (3, 3\sqrt{3}) \) и \( (3, -3\sqrt{3}) \).

Фигура, ограниченная этими линиями, представляет собой сегмент круга. Правая граница — это полуокружность \( x = \sqrt{36 - y^2} \), а левая граница — кривая \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \).

Площадь можно найти как интеграл:

\( S = \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} (\sqrt{36 - y^2} - (6 - \sqrt{36 - y^2})) dy \)

\( S = \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} (2\sqrt{36 - y^2} - 6) dy \)

\( S = 2 \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36 - y^2} dy - \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} 6 dy \)

Первый интеграл \( \int \sqrt{36 - y^2} dy \) представляет собой площадь сегмента круга. Замена \( y = 6 \sin t \), \( dy = 6 \cos t dt \). \( \sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - 36\sin^2 t} = 6\cos t \).

Нижний предел: \( -3\sqrt{3} = 6 \sin t \Rightarrow \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{3} \).

Верхний предел: \( 3\sqrt{3} = 6 \sin t \Rightarrow \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3} \).

\( \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (6\cos t) (6\cos t dt) = 36 \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos^2 t dt = 36 \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 18 \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{-\pi/3}^{\pi/3} \)

\( = 18 \left[ (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3})) - (-\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(-\frac{2\pi}{3})) \right] \)

\( = 18 \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right] = 18 \left[ \frac{2\pi}{3} \right] = 12\pi \).

Значит, \( 2 \times (12\pi) = 24\pi \).

Второй интеграл \( \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} 6 dy = 6[y]_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} = 6(3\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})) = 6(6\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} \).

\( S = 24\pi - 36\sqrt{3} \).

Альтернативное решение (геометрическое):

Фигура образована правой половиной круга радиусом 6 и некоторой областью, ограниченной второй кривой.

Первая кривая \( x = \sqrt{36 - y^2} \) — это правая половина круга \( x^2 + y^2 = 36 \). Её площадь \( \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (6^2) = 18\pi \).

Вторая кривая \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \). Если \( x' = \sqrt{36 - y^2} \) и \( x = 6 - x' \), то \( x' = 6 - x \). Это означает, что эта кривая получается сдвигом правой полуокружности \( x' = \sqrt{36 - y^2} \) на 6 единиц влево. То есть, это левая половина окружности \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \), но с условием \( x \le 6 \).

Фигура, ограниченная \( x = \sqrt{36 - y^2} \) и \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \), — это пересечение двух областей:

1. \( x^2 + y^2 \le 36 \) и \( x \ge 0 \) (правая полуплоскость).

2. \( (x-6)^2 + y^2 \le 36 \) и \( x \le 6 \) (левая полуплоскость относительно центра (6,0)).

Точки пересечения \( (3, \pm 3\sqrt{3}) \).

Площадь фигуры — это площадь сегмента круга \( x^2 + y^2 = 36 \) от \( x = 3 \) до \( x = 6 \) плюс площадь сегмента круга \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \) от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

Для первого круга \( x^2 + y^2 = 36 \), радиус \( R = 6 \). Угол \( \alpha \), где \( \cos \alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Угол сектора \( 2\alpha = \frac{2\pi}{3} \). Площадь сектора \( S_{sector} = \frac{1}{2}R^2 (2\alpha) = \frac{1}{2} (36) (\frac{2\pi}{3}) = 12\pi \).

Площадь треугольника \( S_{triangle} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times (2 \times 3\sqrt{3}) \times 3 = 9\sqrt{3} \).

Площадь сегмента \( S_{segment} = S_{sector} - S_{triangle} = 12\pi - 9\sqrt{3} \).

Для второго круга \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \), центр \( (6,0) \), радиус \( R = 6 \). Нас интересует область, где \( x \le 3 \). Сдвиг на 6 влево означает, что \( x_{left} = x_{original} - 6 \). Если \( x_{original} = 3 \), то \( x_{left} = 3-6 = -3 \). То есть, нас интересует область, где \( x \le -3 \) в координатах сдвинутого круга. Это также сегмент.

Вторая кривая \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \). Если \( y = \pm 3\sqrt{3} \), то \( x = 3 \). Если \( y = 0 \), то \( x = 0 \).

Площадь фигуры — это сумма площадей двух сегментов.

Площадь фигуры, ограниченной \( x = \sqrt{36-y^2} \) и \( x=0 \) (ось Y) от \( y=-3\sqrt{3} \) до \( y=3\sqrt{3} \) — это часть сектора. Угол \( \theta \) такой, что \( \cos \theta = 3/6 = 1/2 \), \( \theta = \pi/3 \). Полный угол \( 2\theta = 2\pi/3 \). Площадь сектора = \( \frac{1}{2} R^2 (2\theta) = \frac{1}{2} (36) (2\pi/3) = 12\pi \). Площадь треугольника с вершинами (0,0), (3, \(3\sqrt{3}\)), (3, -\(3\sqrt{3}\)) = \( \frac{1}{2} \times (6\sqrt{3}) \times 3 = 9\sqrt{3} \). Площадь сегмента = \( 12\pi - 9\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим вторую кривую \( x = 6 - \sqrt{36-y^2} \). Это правая половина окружности \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \).

При \( y = \pm 3\sqrt{3} \), \( x=3 \). При \( y=0 \), \( x=0 \).

Область, ограниченная \( x = 6 - \sqrt{36-y^2} \) и \( x=3 \) от \( y=-3\sqrt{3} \) до \( y=3\sqrt{3} \).

Перепишем \( \sqrt{36-y^2} = 6-x \). \( 36-y^2 = (6-x)^2 \). \( 36-y^2 = 36 - 12x + x^2 \). \( y^2 = 12x - x^2 \).

Рассмотрим область как разность площадей:

Площадь правой полуокружности \( x^2 + y^2 \le 36, x >= 0 \) равна \( 18\pi \).

Площадь фигуры, ограниченной \( x = \sqrt{36 - y^2} \) и \( x = 3 \) (линия пересечения) — это площадь сегмента, вычисленная ранее: \( 12\pi - 9\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим вторую кривую \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \). Она проходит через \( (0,0) \) и \( (6, \pm 6) \), и пересекает \( x = \sqrt{36-y^2} \) в \( (3, \pm 3\sqrt{3}) \).

Площадь фигуры, ограниченной \( x = 6 - \sqrt{36 - y^2} \) и \( x=3 \) (линия пересечения).

Это также часть круга \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \).

Рассмотрим симметрию. Фигура симметрична относительно оси X.

Общая площадь = \( 2 \times \text{площадь верхней половины} \).

Верхняя половина: \( x_{right} = \sqrt{36-y^2} \) и \( x_{left} = 6 - \sqrt{36-y^2} \).

Интеграл \( \int_{0}^{3\sqrt{3}} (\sqrt{36-y^2} - (6 - \sqrt{36-y^2})) dy = \int_{0}^{3\sqrt{3}} (2\sqrt{36-y^2} - 6) dy \).

\( = 2 \int_{0}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy - \int_{0}^{3\sqrt{3}} 6 dy \).

\( \int_{0}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy \) — это площадь четверти круга радиусом 6, где \( y \) от 0 до \( 3\sqrt{3} \). Это соответствует углу \( \pi/3 \).

\( 2 \int_{0}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy = 2 \times \frac{1}{4} \pi (6^2) - \text{площадь треугольника} \).

\( \int_{0}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy \) - площадь сегмента круга \( x^2+y^2=36 \) в первом квадранте, ограниченная \( y=0 \) и \( y=3\sqrt{3} \).

Рассмотрим интеграл \( 2 \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy \). Мы уже нашли \( \int_{-\pi/3}^{\pi/3} 36\cos^2 t dt = 12\pi \). Так что \( 2 \times (12\pi) = 24\pi \). Это неверно.

\( \int \sqrt{a^2 - y^2} dy = \frac{y}{2}\sqrt{a^2-y^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{y}{a}) \).

\( 2 \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} \sqrt{36-y^2} dy = 2 \left[ \frac{y}{2}\sqrt{36-y^2} + \frac{36}{2}\arcsin(\frac{y}{6}) \right]_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} \)

\( = 2 \left[ (\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{36-27} + 18\arcsin(\frac{3\sqrt{3}}{6})) - (\frac{-3\sqrt{3}}{2}\sqrt{36-27} + 18\arcsin(\frac{-3\sqrt{3}}{6})) \right] \)

\( = 2 \left[ (\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{9} + 18\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})) - (\frac{-3\sqrt{3}}{2}\sqrt{9} + 18\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})) \right] \)

\( = 2 \left[ (\frac{3\sqrt{3}}{2} × 3 + 18\frac{\pi}{3}) - (\frac{-3\sqrt{3}}{2} × 3 + 18(-\frac{\pi}{3})) \right] \)

\( = 2 \left[ (\frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\pi) - (-\frac{9\sqrt{3}}{2} - 6\pi) \right] \)

\( = 2 \left[ \frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\pi + \frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\pi \right] = 2 \left[ 9\sqrt{3} + 12\pi \right] = 18\sqrt{3} + 24\pi \).

\( \int_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}} 6 dy = 6 \times (3\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})) = 6 × 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \).

\( S = (18\sqrt{3} + 24\pi) - 36\sqrt{3} = 24\pi - 18\sqrt{3} \).

Проверка геометрически:

Площадь фигуры — это площадь правой полуокружности \( x = \sqrt{36-y^2} \) минус площадь фигуры, ограниченной \( x = 6 - \sqrt{36-y^2} \) и \( x = \sqrt{36-y^2} \).

Площадь правой полуокружности = \( 18\pi \).

Площадь между кривыми = \( 24\pi - 18\sqrt{3} \).

Это означает, что \( 18\pi - (24\pi - 18\sqrt{3}) = 18\sqrt{3} - 6\pi \) — площадь, которую нужно вычесть.

Рассмотрим фигуру как сумму двух сегментов. Левая кривая \( x = 6 - \sqrt{36-y^2} \) — это правая половина круга \( (x-6)^2 + y^2 = 36 \). Правая кривая \( x = \sqrt{36-y^2} \) — это левая половина круга \( x^2 + y^2 = 36 \). Нет, это правая половина круга \( x^2+y^2=36 \).

Фигура — это пересечение двух кругов \( x^2+y^2 <= 36 \) и \( (x-6)^2+y^2 <= 36 \).

Площадь пересечения двух кругов радиусом R, расстояние между центрами которых d, равна:

\( S = 2R^2 \cos^{-1}(\frac{d}{2R}) - \frac{d}{2}\sqrt{4R^2-d^2} \).

Здесь \( R=6 \). Центры \( (0,0) \) и \( (6,0) \). \( d=6 \).

\( S = 2(6^2) \cos^{-1}(\frac{6}{2 × 6}) - \frac{6}{2}\sqrt{4(6^2)-6^2} \)

\( S = 72 \cos^{-1}(\frac{1}{2}) - 3\sqrt{144-36} \)

\( S = 72 \times \frac{\pi}{3} - 3\sqrt{108} \)

\( S = 24\pi - 3\sqrt{36 × 3} \)

\( S = 24\pi - 3 × 6\sqrt{3} \)

\( S = 24\pi - 18\sqrt{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( 24\pi - 18\sqrt{3} \).