Задача 6. Найти объём тела, образующегося вращением вокруг оси Y фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \) и прямой \( y = 4 \).

Решение:

Тело объёма получается при вращении фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \) и прямой \( y = 4 \) вокруг оси Y.

Сначала найдём точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 4 \):

\( x^2 = 4 \) \(→\) \( x = ± 2 \).

Фигура ограничена сверху прямой \( y = 4 \) и снизу параболой \( y = x^2 \). Мы вращаем вокруг оси Y.

Объём тела вращения вокруг оси Y можно найти по формуле:

\[ V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) dx \]

В нашем случае, \( f(x) = 4 - x^2 \) (разность высот верхней и нижней кривой) и пределы интегрирования по \( x \) от \( -2 \) до \( 2 \).

Однако, проще воспользоваться методом дисков или цилиндров, вращая вокруг оси Y.

Если вращаем вокруг оси Y, то \( x \) является функцией от \( y \). Для параболы \( y = x^2 \), \( x = ± √{y} \).

В этом случае, при вращении вокруг оси Y, мы можем представить объём как сумму объёмов тонких цилиндрических слоёв (метод цилиндрических слоёв), или как сумму объёмов дисков (метод дисков).

Метод дисков (или колец) при вращении вокруг оси Y:

Объём \( V = \int_{c}^{d} \pi [R(y)^2 - r(y)^2] dy \)

Здесь \( R(y) \) — внешний радиус, \( r(y) \) — внутренний радиус.

В нашем случае, вращение происходит вокруг оси Y. Парабола \( y = x^2 \) даёт нам \( x = ± √{y} \).

Внешний радиус — это \( x = 2 \) (когда \( y = 4 \)), внутренний радиус — это \( x = √{y} \) (для параболы).

Но здесь мы вращаем фигуру, ограниченную \( y=x^2 \) и \( y=4 \), вокруг оси Y.

При вращении вокруг оси Y, лучше использовать метод цилиндров:

\[ V = \int_{a}^{b} 2\pi x h(x) dx \]

Где \( x \) — радиус цилиндра, \( h(x) \) — высота цилиндра.

В данном случае, \( x \) изменяется от 0 до 2 (из-за симметрии можем взять правую половину и умножить на 2, или интегрировать от -2 до 2).

Высота цилиндра \( h(x) \) — это разность между верхней границей \( y=4 \) и нижней границей \( y=x^2 \), то есть \( h(x) = 4 - x^2 \).

Радиус цилиндра — \( x \).

Интегрируем по \( x \) от \( 0 \) до \( 2 \) и умножаем на 2 (из-за симметрии):

\[ V = 2 \int_{0}^{2} 2\pi x (4 - x^2) dx \]

\[ V = 4\pi \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx \]

\[ V = 4\pi \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \]

\[ V = 4\pi \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \]

\[ V = 4\pi \left( (2 \cdot 2^2 - \frac{2^4}{4}) - (2 \cdot 0^2 - \frac{0^4}{4}) \right) \]

\[ V = 4\pi \left( (2 \cdot 4 - \frac{16}{4}) - 0 \right) \]

\[ V = 4\pi (8 - 4) \]

\[ V = 4\pi \cdot 4 \]

\[ V = 16\pi \]

Проверка другим методом (метод дисков):

Вращаем вокруг оси Y. Варьируем \( y \) от 0 до 4.

Радиус диска — \( x \), где \( x = √{y} \) (для правой половины).

\[ V = \int_{0}^{4} \pi x^2 dy \]

\[ V = \int_{0}^{4} \pi y dy \]

\[ V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} \]

\[ V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \]

\[ V = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) \]

\[ V = 8\pi \]

Ошибка в одном из методов. Переосмыслим.

Задача: найти объём тела, образующегося вращением вокруг оси Y фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \) и прямой \( y = 4 \).

Это означает, что мы вращаем область, где \( x^2 ≤ y ≤ 4 \).

При вращении вокруг оси Y, удобнее использовать метод дисков (или колец), интегрируя по \( y \).

Внешний радиус — это \( x \) соответствующий \( y=4 \), но это вся фигура, а не радиус.

Рассмотрим сечение при данном \( y \). Это круг с радиусом \( x \) таким, что \( y = x^2 \). То есть \( x = √{y} \) (рассматриваем правую половину, так как вращение симметрично).

Объём каждого тонкого диска толщиной \( dy \) равен \( dV = \pi x^2 dy \).

Подставляем \( x^2 = y \):

\[ dV = \pi y dy \]

Интегрируем \( y \) от \( 0 \) до \( 4 \) (пределы по \( y \) от нижней точки параболы до верхней границы).

\[ V = \int_{0}^{4} \pi y dy \]

\[ V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} \]

\[ V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \]

\[ V = \pi \left( \frac{16}{2} \right) \]

\[ V = 8\pi \]

Объяснение второго метода (цилиндров):

При вращении вокруг оси Y, мы можем рассмотреть цилиндр радиусом \( x \) и высотой \( h(x) = 4 - x^2 \). Интеграл \( V = \int_{a}^{b} 2\pi x h(x) dx \) дает объём тела, полученного вращением кривой \( y = h(x) \) вокруг оси X, если \( h(x) \) — это высота, а \( x \) — радиус. Но здесь вращение вокруг Y.

Правильное применение метода цилиндров для вращения вокруг оси Y:

Возьмём элемент площади \( dA = y \cdot dx \). При вращении этого элемента вокруг оси Y, получаем объём цилиндра \( dV = 2\pi x \cdot y \cdot dx \).

Здесь \( y = x^2 \).

\[ V = \int_{-2}^{2} 2\pi x (x^2) dx = 2\pi \int_{-2}^{2} x^3 dx \]

\[ V = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{2} = 2\pi \left( \frac{2^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \right) = 2\pi (4 - 4) = 0 \]

Этот результат неверный, так как объём тела не может быть нулем.

Ошибка в применении метода цилиндров.

Правильное применение метода цилиндров при вращении вокруг оси Y:

Рассматриваем вертикальную полоску шириной \( dx \) на уровне \( x \). Высота полоски \( h(x) = 4 - x^2 \). Радиус вращения полоски вокруг оси Y равен \( x \).

Объём этого тонкого цилиндра \( dV = 2\pi x \cdot h(x) \cdot dx \).

\[ V = \int_{0}^{2} 2\pi x (4 - x^2) dx \]

Здесь мы интегрируем от 0 до 2, так как \( x \) — это радиус, и берём только правую половину фигуры. Объём всей фигуры будет удвоенным, но формула \( \int 2\pi x h(x) dx \) уже учитывает вращение вокруг оси Y, поэтому интегрируем по \( x \) от 0 до 2.

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx \]

\[ V = 2\pi \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \]

\[ V = 2\pi \left( (2 \cdot 2^2 - \frac{2^4}{4}) - 0 \right) \]

\[ V = 2\pi (8 - 4) \]

\[ V = 2\pi \cdot 4 \]

\[ V = 8\pi \]

Оба метода дают одинаковый результат \( 8\pi \).

Краткое пояснение:

Область ограничена \( y = x^2 \) и \( y = 4 \). Вращаем вокруг оси Y.

Используем метод дисков, интегрируя по \( y \) от 0 до 4.

Радиус диска в точке \( y \) равен \( x \), где \( y = x^2 \), т.е. \( x = √{y} \).

Площадь диска \( A(y) = \pi x^2 = \pi y \).

\[ V = \int_{0}^{4} A(y) dy = \int_{0}^{4} \pi y dy \]

\[ V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]

Альтернативно, методом цилиндров, интегрируя по \( x \):

Рассматриваем полоску высотой \( h = 4 - x^2 \) и радиусом вращения \( x \). Интегрируем от \( x=0 \) до \( x=2 \).

\[ V = \int_{0}^{2} 2\pi x h(x) dx = \int_{0}^{2} 2\pi x (4 - x^2) dx \]

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx = 2\pi \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \]

\[ V = 2\pi \left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) = 2\pi (8 - 4) = 8\pi \]

Ответ: Объём тела равен \( 8\pi \).