Задача 6. Найдите объём конуса, у которого радиус основания равен 2√3, а высота наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Решение:

Дан конус с радиусом основания \( r = 2\sqrt{3} \) и углом наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 30^{\circ} \).

Нам нужно найти объём конуса. Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Чтобы найти высоту \( h \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( r \), высотой \( h \) и образующей \( l \). Угол между образующей и плоскостью основания равен \( \alpha = 30^{\circ} \).

В этом треугольнике высота \( h \) является противолежащим катетом к углу \( \alpha \), а радиус основания \( r \) — прилежащим катетом.

Используем тангенс угла:

\( \tan \alpha = \frac{h}{r} \)

\( h = r \cdot \tan \alpha \)

Подставим известные значения:

\( h = 2\sqrt{3} \cdot \tan 30^{\circ} \)

Значение \( \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\( h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \)

Теперь, когда мы знаем радиус \( r = 2\sqrt{3} \) и высоту \( h = 2 \), можем найти объём конуса:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 \)

Вычислим \( (2\sqrt{3})^2 \):

\( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \)

Подставим это значение в формулу объёма:

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2 = \frac{24}{3} \pi = 8 \pi \)

Ответ: Объём конуса равен 8π.