Задача 6. Касательная и треугольник. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с центром О в точке В. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника АОВ, если один из его углов равен 70°.

Задание 6. Касательная и треугольник

Условие: Прямая касается окружности с центром О в точке В. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника АОВ, если один из его углов равен 70°.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АОВ. Точка В находится на окружности, а О — её центр. Следовательно, ОВ — это радиус окружности.
2. Прямая касается окружности в точке В. Это значит, что радиус ОВ перпендикулярен касательной в точке В. Таким образом, угол ОВ с касательной равен 90°.
3. В треугольнике АОВ есть два известных угла:
• Угол, образованный касательной и радиусом: 90° (угол ОВА, если точка А лежит на касательной, или угол, где касательная и радиус пересекаются).
• Один из углов треугольника, равный 70°.
4. Нам нужно найти меньший угол треугольника АОВ. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
5. Если 70° — это угол при вершине О (угол АОВ):
• Тогда третий угол (угол ВАО) будет: 180° - 90° - 70° = 20°.
• Углы треугольника: 90°, 70°, 20°. Меньший угол — 20°.
6. Если 70° — это угол при вершине А (угол ВАО):
• Тогда третий угол (угол АОВ) будет: 180° - 90° - 70° = 20°.
• Углы треугольника: 90°, 70°, 20°. Меньший угол — 20°.
7. Важно: В условии задачи сказано «один из его углов равен 70°». Так как радиус ОВ перпендикулярен касательной, один из углов треугольника АОВ (или тот, что на касательной, или угол АОВ) должен быть связан с этим перпендикуляром. Если 70° — это угол ВАО, то угол АОВ = 180° - 90° - 70° = 20°. Если 70° — это угол АОВ, то угол ВАО = 180° - 90° - 70° = 20°. В любом случае, меньшим углом будет 20°.

Ответ: 20