Задача 6. Груз, привязанный к нити, в момент времени t = 0 отпускают из крайнего левого положения. На графиках А и Б показано изменение физических величин, характеризующих движение груза после этого. Т - период колебаний. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Решение:

Рассмотрим движение груза, привязанного к нити, отпускаемого из крайнего левого положения. Это движение является колебательным. Примем положение равновесия за начало координат (x=0), а направление вправо за положительное. Тогда крайнее левое положение соответствует максимальному отрицательному значению координаты x, а крайнее правое — максимальному положительному.

График А показывает величину, которая в момент времени t=0 равна нулю, затем становится положительной, проходит через ноль, становится отрицательной и возвращается к нулю за период T. Это соответствует изменению координаты груза (x), если он отпущен из положения равновесия. Однако по условию груз отпускают из крайнего левого положения. Если принять это положение за \( x_{max} \) (или \( x_{min} \) в зависимости от выбора направления оси), то график А не соответствует ни одной из величин при таком начальном условии.

График Б показывает величину, которая в момент времени t=0 равна максимальному положительному значению, затем убывает до нуля, становится отрицательной, проходит через ноль и возвращается к максимальному положительному значению за период T. Это соответствует изменению координаты груза (x), если принять крайнее левое положение за \( x_{min} \) (максимальное отрицательное значение) и ось x направлена вправо, или если принять крайнее левое положение за \( x_{max} \) (максимальное положительное значение) и ось x направлена влево. Если же принять крайнее левое положение за \( x_{max} \) (максимальное положительное значение) и ось x направлена вправо, то график Б мог бы представлять координату, но начальное условие задачи (отпускают из крайнего левого положения) не соответствует началу графика.

Проанализируем другие величины:

1. Кинетическая энергия груза \( E_k \): \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \). В крайних положениях скорость груза равна нулю, поэтому \( E_k = 0 \). В положении равновесия скорость максимальна, поэтому \( E_k \) максимальна. График, соответствующий \( E_k \), должен начинаться с нуля в крайнем положении, возрастать до максимума в положении равновесия и снова убывать до нуля в другом крайнем положении. Это соответствует графику, который начинается с нуля.
2. Координата груза x: Если груз отпущен из крайнего левого положения (принимаем его за \( x_{min} \)), то \( x(0) = x_{min} \). Затем он движется к положению равновесия \( x=0 \) и далее к правому крайнему положению \( x_{max} \). Таким образом, \( x(t) \) будет косинусоидальной функцией, сдвинутой так, чтобы в \( t=0 \) значение было минимальным. График, начинающийся с максимального отрицательного значения (или максимального положительного, если выбрать направление оси наоборот) и изменяющийся по синусоидальному или косинусоидальному закону, соответствует координате.
3. Проекция импульса груза \( p_x \): \( p_x = mv_x \). Зависимость \( p_x(t) \) будет аналогична зависимости \( v_x(t) \), которая является синусоидой, сдвинутой на \( \frac{\pi}{2} \) относительно \( x(t) \). Если \( x(t) \) — косинусоида, то \( v_x(t) \) — синусоида. Если \( x(0) = x_{min} \), то \( v_x(0) = 0 \).
4. Проекция ускорения груза \( a_x \): \( F_x = -kx \) (для пружинного маятника) или \( F_x = -mg \frac{x}{L} \) (для математического маятника). \( a_x = \frac{F_x}{m} \). В крайних положениях \( x \) максимально (по модулю), а \( a_x \) также максимально (направлено к положению равновесия). В положении равновесия \( x=0 \), \( a_x=0 \). Таким образом, \( a_x(t) \) будет косинусоидальной функцией, сдвинутой так, чтобы в \( t=0 \) значение было максимальным (или минимальным, в зависимости от направления оси).

Анализ графиков с учетом начального условия (t=0, крайнее левое положение):

График А: В \( t=0 \) значение равно 0. Это может соответствовать кинетической энергии (начинает движение из крайнего положения, где скорость равна 0) или проекции импульса (если скорость равна 0). Или ускорению, если оно равно 0 в крайнем положении (что неверно для маятника).

График Б: В \( t=0 \) значение максимально положительное. Это может соответствовать координате (если крайнее левое положение выбрать как максимальное положительное значение, что необычно, но возможно при выборе направления оси) или ускорению (если оно максимально в начальный момент).

Переосмыслим условия:

При колебаниях, начинающихся из крайнего положения (максимального смещения \( x_0 \)), зависимость координаты от времени имеет вид \( x(t) = x_0 \cos(\omega t) \) (если \( t=0 \) соответствует крайнему положению и \( x_0 > 0 \)) или \( x(t) = -x_0 \cos(\omega t) \) (если \( x_0 > 0 \) и \( t=0 \) соответствует крайнему левому положению, а ось вправо).

График А выглядит как синусоида, начинающаяся с нуля. Это соответствует \( \boldsymbol{3} \) проекции импульса груза \( p_x \), так как \( p_x = mv_x \), а скорость \( v_x \) в крайних положениях равна нулю, и в положении равновесия максимальна. Если \( x(0) = x_{min} \), то \( v_x(0) = 0 \). Следовательно, \( p_x(0) = 0 \). В положении равновесия \( v_x \) максимальна, значит \( p_x \) тоже максимальна.

График Б выглядит как косинусоида, начинающаяся с максимума. Это соответствует \( \boldsymbol{2} \) координате груза x, если крайнее левое положение соответствует максимальному положительному значению координаты (т.е. ось направлена влево) или если начальный момент \( t=0 \) соответствует максимальному положительному смещению, а не крайнему левому. Если принять, что крайнее левое положение соответствует \( x_{max} \) (на оси, направленной влево), то \( x(t) = x_{max} ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). Если крайнее левое положение соответствует \( x_{min} \) (на оси, направленной вправо), то \( x(t) = -x_{max} ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \) или \( x(t) = x_{min} ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). График Б начинается с максимума, что соответствует \( x(t) = x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). Это возможно, если крайнее левое положение принять за \( x_0 \).

Рассмотрим кинетическую энергию. \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \). В крайних положениях \( v=0 \), \( E_k=0 \). В положении равновесия \( v \) максимальна, \( E_k \) максимальна. График кинетической энергии должен начинаться с нуля, достигать максимума и снова быть нулем. График А начинается с нуля.

Рассмотрим ускорение. \( a_x = -ω^2 x \). В крайних положениях \( x \) максимально, \( a_x \) максимально по модулю и направлено к центру. В положении равновесия \( x=0 \), \( a_x=0 \). Если \( x(t) = x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \), то \( a_x(t) = -ω^2 x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). Таким образом, ускорение изменяется по косинусоидальному закону, но с обратным знаком. График ускорения будет начинаться с минимального значения (максимум в отрицательном направлении).

Итоговое сопоставление:

График А, начинающийся с нуля и затем достигающий максимума, соответствует 1. кинетическая энергия груза \( E_k \). В крайних положениях скорость равна 0, поэтому \( E_k = 0 \). В положении равновесия скорость максимальна, \( E_k \) максимальна. График А подходит.

График Б, начинающийся с максимума, соответствует 2. координата груза x. Если принять крайнее левое положение как \( x_{max} \), то \( x(t) = x_{max} ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). График Б подходит.

Следовательно:

А - 1

Б - 2

Проверим остальные варианты:

3. Проекция импульса \( p_x = mv_x \). Если \( x(t) = x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \), то \( v_x(t) = -x_0 ​ ​​ ​​ω ​ ​​ ​​ \sin(\omega t) \). \( p_x(t) = -m x_0 ​ ​​ ​​ω ​ ​​ ​​ \sin(\omega t) \). Синусоида начинается с нуля. График А соответствует синусоиде. Значит, А может быть импульс.

4. Проекция ускорения \( a_x = -ω^2 x \). Если \( x(t) = x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \), то \( a_x(t) = -ω^2 x_0 ​ ​​ ​​ \cos(\omega t) \). Это косинусоида с обратным знаком. Если \( t=0 \) - крайнее левое положение (максимальное смещение), то \( a_x(0) \) должно быть максимально отрицательным (если ось вправо) или максимально положительным (если ось влево).

Принимаем:

График А: Начинается с 0, затем становится положительным, проходит через 0, становится отрицательным. Это характерно для 3. проекции импульса груза \( p_x \), так как \( v(0)=0 \), \( p_x(0)=0 \). В положении равновесия \( v \) максимальна, \( p_x \) максимальна.

График Б: Начинается с максимума, затем проходит через 0, становится отрицательным. Это характерно для 2. координаты груза x, если крайнее левое положение соответствует максимальному положительному значению координаты.

Правильное сопоставление:

А - 3

Б - 2

Итоговая таблица:

Ответ: А - 3, Б - 2.