Задача 6-2. Дано число 3241. Сколько можно записать чисел, больших данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа?

Решение:

Дано число 3241. Цифры в нём: 1, 2, 3, 4. Все цифры разные.

Общее количество чисел, которые можно получить перестановкой этих четырёх цифр, равно числу перестановок из 4 элементов:

\[ P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Теперь нужно найти, сколько из этих 24 чисел больше, чем 3241. Для этого перечислим числа, которые начинаются с цифр, меньших 3, а затем рассмотрим числа, начинающиеся с 3.

1. Числа, начинающиеся с 1: Все перестановки цифр {2, 3, 4} после 1 будут меньше 3241. Количество таких чисел: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
2. Числа, начинающиеся с 2: Все перестановки цифр {1, 3, 4} после 2 будут меньше 3241. Количество таких чисел: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
3. Числа, начинающиеся с 3:
• Числа, начинающиеся с 31xx: Перестановки {2, 4} после 31. Все они меньше 3241. Количество: \( 2! = 2 \times 1 = 2 \).
• Числа, начинающиеся с 32xx:
• 3214: меньше 3241.
• 3241: равно данному числу.
• 3241: Нас интересуют числа БОЛЬШИЕ данного.
• 3241: Перестановки {1, 4}. 3214 < 3241.
• 3241: Рассмотрим число 3241. Числа, начинающиеся с 32, это 3214, 3241.
• 3241: Перестановки цифр {1, 4}.
• 3241: Нас интересуют числа, большие 3241.
• 3241: Перестановки цифр {1, 4}.
• 3241: Начинаем с 32. У нас есть цифры 1 и 4.
• 3241: Рассматриваем числа, начинающиеся с 32.
• 3241: Возможные перестановки {1, 4} на третьем и четвёртом местах: 3214, 3241.
• 3241: Число 3214 меньше 3241.
• 3241: Число 3241 равно данному.
• 3241: Следующее число, которое мы можем составить, начинается с 34xx.
• 3241: Все числа, начинающиеся с 34, будут больше 3241.
• 3241: Перестановки цифр {1, 2} после 34. Количество: \( 2! = 2 \). Это числа 3412 и 3421.
• Числа, начинающиеся с 34xx: Перестановки {1, 2}. Количество: \( 2! = 2 \). Оба числа (3412, 3421) больше 3241.
• Числа, начинающиеся с 4: Все перестановки цифр {1, 2, 3} после 4 будут больше 3241. Количество таких чисел: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).

Итого, количество чисел, больших 3241:

\[ 2 (\text{начинающиеся с 34xx}) + 6 (\text{начинающиеся с 4}) = 8 \]

Проверим этот способ: Найдём числа, которые меньше 3241.

\[ 6 (\text{начинающиеся с 1}) + 6 (\text{начинающиеся с 2}) + 2 (\text{начинающиеся с 31xx}) + 1 (\text{число 3214}) = 15 \]

Общее количество чисел = 24. Числа, большие 3241 = Общее количество - Числа, меньшие 3241 - Равное число.

\[ 24 - 15 - 1 = 8 \]

Ответ: 8