Задача 5 При пересечении двух прямых образовались четыре угла, среди которых нет развёрнутого. Один из этих углов на $$40^\circ$$ больше суммы двух вертикальных между собой углов, смежных с ним. Найдите градусную меру большего угла из этой пары пересекающихся прямых.

Решение:

Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — смежные углы, а \( \gamma \) — угол, вертикальный с \( \alpha \). По условию, \( \alpha = \beta \) (вертикальные углы равны).

Сумма смежных углов равна 180 градусов: \( \alpha + \beta = 180^\circ \).

Угол, смежный с \( \alpha \), обозначим как \( \beta \). Таким образом, \( \alpha + \beta = 180^\circ \).

Вертикальные углы равны: \( \gamma = \alpha \).

По условию задачи, один из углов (назовём его \( \alpha \)) на \( 40^\circ \) больше суммы двух смежных с ним углов. Поскольку вертикальные углы равны, а смежные с \( \alpha \) углы равны \( \beta \), то имеем:

\( \alpha = \beta + \beta + 40^\circ \)

\( \alpha = 2\beta + 40^\circ \)

Также мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180^\circ \). Подставим \( \alpha \) из первого уравнения во второе:

\[ (2\beta + 40^\circ) + \beta = 180^\circ \]

\[ 3\beta + 40^\circ = 180^\circ \]

\[ 3\beta = 180^\circ - 40^\circ \]

\[ 3\beta = 140^\circ \]

\[ \beta = \frac{140^\circ}{3} \]

Теперь найдём \( \alpha \):

\[ \alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - \frac{140^\circ}{3} = \frac{540^\circ - 140^\circ}{3} = \frac{400^\circ}{3} \]

Проверим условие, что \( \alpha \) на \( 40^\circ \) больше суммы двух смежных углов (которые равны \( \beta \) ):

\[ \alpha = 2\beta + 40^\circ \]

\[ \frac{400^\circ}{3} = 2 \cdot \frac{140^\circ}{3} + 40^\circ \]

\[ \frac{400^\circ}{3} = \frac{280^\circ}{3} + \frac{120^\circ}{3} \]

\[ \frac{400^\circ}{3} = \frac{400^\circ}{3} \]

Условие выполняется. Нам нужно найти градусную меру большего угла из пары пересекающихся прямых. Больший угол — это \( \alpha \).

\[ \alpha = \frac{400}{3}^\circ \approx 133.33^\circ \]

Ответ: \( \frac{400}{3}^\circ \).