Задача 514. а) Решите уравнение: 2 sin(x + π/3) + cos 2x = √3 cos x + 1. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −3π/2].

а) Раскроем синус суммы:

\[2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\]

Подставим в уравнение:

\[\sin x+\sqrt3\cos x+\cos2x=\sqrt3\cos x+1.\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[\sin x+\cos2x=1.\]

Используем формулу \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\[\sin x+1-2\sin^2x=1,\]

\[\sin x(1-2\sin x)=0.\]

Отсюда:

1. \(\sin x=0\), поэтому \(x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);
2. \(\sin x=\frac12\), поэтому \(x=\frac\pi6+2\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

б) Проверим корни на отрезке \(\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]\).

Из серии \(x=\pi n\) подходят:

\[x=-3\pi,\quad x=-2\pi.\]

Из серии \(x=\frac\pi6+2\pi n\) подходит:

\[x=\frac\pi6-2\pi=-\frac{11\pi}{6}.\]

Корней серии \(x=\frac{5\pi}6+2\pi n\) на данном отрезке нет.

Ответ: а) \(x=\pi n\), \(x=\frac\pi6+2\pi n\), \(x=\frac{5\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}\).