Задача 513. а) Решите уравнение: \(2\sin^2 x+\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]\).

а) Решение уравнения

Раскроем синус суммы:

\[\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x.\]

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\[2\sin^2x+\sin x+\cos x=\cos x.\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[2\sin^2x+\sin x=0,\]

\[\sin x(2\sin x+1)=0.\]

Отсюда:

1. \(\sin x=0\), поэтому \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\);
2. \(2\sin x+1=0\), то есть \(\sin x=-\frac12\), поэтому \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Отберём корни на отрезке \(\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]\).

Из серии \(x=\pi k\) подходят \(x=-2\pi\) и \(x=-\pi\).

Из серии \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) корней на данном отрезке нет.

Из серии \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) подходит \(x=-\frac{5\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\pi k\), \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-2\pi,\ -\pi,\ -\frac{5\pi}{6}\).