Задача 5. В окружности с центром O, ∠BAC = 31°. Найдите ∠BOD.

Решение:

Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.

Центральный угол ∠BOC также опирается на дугу BC, поэтому ∠BOC = 2 * ∠BAC.

\( \angle BOC = 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ \)

Угол ∠BOD является центральным углом, опирающимся на дугу BD.

Из рисунка видно, что ∠BOD и ∠AOC являются вертикальными углами, следовательно, они равны.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC. Угол ∠AOB является развёрнутым, т.е. 180°.

∠AOC = 180°

∠BOD = ∠AOC - ∠BAC - ∠CAD. Однако, это неверный путь.

Из рисунка видно, что ∠BOD и ∠AOC являются смежными углами, поскольку AC и BD — диаметры. Если AC и BD — диаметры, то ∠BOD = ∠AOC.

Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными.

∠AOD = 2 * ∠ABD (если бы нам был дан ∠ABD)

∠BOD = 2 * ∠BCD (если бы нам был дан ∠BCD)

Так как AC и BD пересекаются в центре O, то ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.

∠AOD = 2 * ∠ABD

∠BOC = 2 * ∠BAC

∠BOC = 2 * 31° = 62°

∠AOD = ∠BOC = 62° (вертикальные углы)

∠AOC = 180° (развернутый угол)

∠BOD = ∠AOC = 180° - 62° = 118°.

Ответ: ∠BOD = 118°.