Задача 5.9. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером 2 × 2. Может ли при этом на доске остаться ровно одна черная клетка?

Решение:

Шахматная доска имеет размер \( 8 \times 8 \) клеток. Всего \( 64 \) клетки. Из них \( 32 \) черных и \( 32 \) белых.

Разрешенная операция — перекрашивание всех клеток квадрата \( 2 \times 2 \) в другой цвет. Такой квадрат включает 2 черные и 2 белые клетки (или 2 белые и 2 черные, в зависимости от раскраски угловых клеток). Важно, что в любом квадрате \( 2 \times 2 \) содержится равное количество клеток каждого цвета — по 2.

Когда мы перекрашиваем квадрат \( 2 \times 2 \), мы меняем цвет у 4 клеток. Если все 4 клетки были одного цвета (что невозможно на шахматной доске), то изменится количество клеток каждого цвета. Если же в квадрате \( 2 \times 2 \) находятся клетки разного цвета, то:

• 2 черные и 2 белые клетки становятся 2 белыми и 2 черными.
• 2 белые и 2 черные клетки становятся 2 черными и 2 белыми.

Таким образом, любая операция меняет цвет у двух черных и двух белых клеток. Это означает, что количество черных клеток всегда остается четным (\( 32 \) — четное число), и количество белых клеток также остается четным.

Если бы на доске осталась ровно одна черная клетка, то общее количество черных клеток было бы равно 1. Но 1 — это нечетное число. Поскольку количество черных клеток всегда остается четным, невозможно прийти к состоянию, когда на доске останется ровно одна черная клетка.

Ответ: Нет, не может.