Задача 5.8. Внутри большого треугольника периметра 120 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты. Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.

Решение:

Пусть большой треугольник имеет стороны a, b, c. Его периметр равен \( P = a + b + c = 120 \).

Рисунок показывает, что большой треугольник разделен на 9 маленьких треугольников. Это достигается путем проведения линий, параллельных сторонам большого треугольника, каждая из которых делит противоположную сторону на три равные части. В результате такого деления образуется 9 подобных треугольников.

Пусть стороны малых треугольников равны \( x \), \( y \), \( z \). Периметр каждого малого треугольника равен \( p = x + y + z \).

Из подобия треугольников следует, что стороны малого треугольника относятся к сторонам большого треугольника как 1:3. То есть, \( x = a/3 \), \( y = b/3 \), \( z = c/3 \).

Тогда периметр малого треугольника равен:

\[ p = \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{a+b+c}{3} = \frac{P}{3} \]

Подставляем значение периметра большого треугольника:

\[ p = \frac{120}{3} = 40 \]

Следовательно, периметр каждого из девяти маленьких треугольников равен 40.

Ответ: 40.