Задача 5.5. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1989. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске стали нулями?

Решение:

Рассмотрим сумму чисел на доске. Пусть на доске написаны числа \( a_1, a_2, …, a_n \). При замене двух чисел \( a_i \) и \( a_j \) на \( a_i - a_j \) (или \( a_j - a_i \)), сумма чисел меняется следующим образом: \( S_{new} = S_{old} - a_i - a_j + (a_i - a_j) = S_{old} - 2a_j \).

Таким образом, при каждой операции сумма чисел на доске меняется на четное число. Исходная сумма чисел равна сумме арифметической прогрессии: \( S_{initial} = \frac{1989 · (1 + 1989)}{2} = \frac{1989 · 1990}{2} = 1989 · 995 \).

Эта сумма является нечетным числом (произведение двух нечетных чисел). Если бы мы смогли добиться того, чтобы все числа на доске стали нулями, то итоговая сумма была бы равна 0, что является четным числом.

Поскольку исходная сумма нечетна, а каждая операция сохраняет четность суммы (то есть, если сумма была четной, она останется четной, если нечетной — останется нечетной), то невозможно добиться того, чтобы сумма стала равной 0.

Ответ: Нельзя.