Задача 4 Дано: Конус Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Высота = 12 см. Найти: S кон. = ? V = ? Решение

Краткое пояснение:

Дано:

• Конус
• \[ \alpha = 30^{\circ} \]
• \[ h = 12 \text{ см} \]

Найти:

• \[ S_{бок} = ? \]
• \[ V = ? \]

Решение:

1. Шаг 1: Находим радиус основания (r).
   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой (h), радиусом (r) и образующей (l), угол между образующей и радиусом равен 30°. Используем тангенс угла:
   \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{r} \]
   \[ r = \frac{h}{\tan(\alpha)} = \frac{12}{\tan(30^{\circ})} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12 \sqrt{3} \text{ см} \]
2. Шаг 2: Находим образующую (l).
   Используем синус угла:
   \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \]
   \[ l = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{12}{\sin(30^{\circ})} = \frac{12}{1/2} = 24 \text{ см} \]
3. Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности (S_бок).
   Формула площади боковой поверхности конуса:
   \[ S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l \]
   \[ S_{бок} = \pi \cdot (12 \sqrt{3}) \cdot 24 = 288 \pi \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
4. Шаг 4: Находим объем конуса (V).
   Формула объема конуса:
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (12 \sqrt{3})^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (144 \cdot 3) \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 432 \cdot 12 = \pi \cdot 144 \cdot 12 = 1728 \pi \text{ см}^3 \]

Ответ:

• \[ S_{бок} = 288 \pi \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
• \[ V = 1728 \pi \text{ см}^3 \]