Задача 4. В 2 ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наугад взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Решение:

Обозначим события:

• \(A\) — из первого ящика вынут нестандартный (Н) лампа.
• \(B\) — из первого ящика вынут стандартный (С) лампа.
• \(C\) — из второго ящика вынут нестандартный лампа.

Вероятности событий:

• \(P(A) = \frac{1}{12}\) (вероятность вынуть нестандартную лампу из первого ящика)
• \(P(B) = \frac{11}{12}\) (вероятность вынуть стандартную лампу из первого ящика)

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Из первого ящика вынут нестандартный лампа (событие \(A\)).
• Вероятность этого события \(P(A) = \frac{1}{12}\).
• После перекладывания нестандартной лампы во втором ящике становится \(10 + 1 = 11\) ламп, из них \(1 + 1 = 2\) нестандартные.
• Вероятность вынуть нестандартную лампу из второго ящика во втором ящике в этом случае: \(P(C|A) = \frac{2}{11}\).
• Вероятность этого полного случая: \(P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C|A) = \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{2}{132}\).
2. Случай 2: Из первого ящика вынут стандартный лампа (событие \(B\)).
• Вероятность этого события \(P(B) = \frac{11}{12}\).
• После перекладывания стандартной лампы во втором ящике становится \(10 + 1 = 11\) ламп, из них \(1\) нестандартная.
• Вероятность вынуть нестандартную лампу из второго ящика во втором ящике в этом случае: \(P(C|B) = \frac{1}{11}\).
• Вероятность этого полного случая: \(P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C|B) = \frac{11}{12} \cdot \frac{1}{11} = \frac{11}{132}\).

По формуле полной вероятности, вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной, равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:

\[ P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) = \frac{2}{132} + \frac{11}{132} = \frac{13}{132} \]

Ответ: \(\frac{13}{132}\).