Задача 4. Индира захотела пронумеровать страницы своей тетради. Но по какой-то причине она решила писать номера только на нечетных страницах: 1, 3, 5 и т.д. Всего она написала 95 цифр. Сколько раз Индира написала цифру 7?

Привет! Давай разберемся с этой задачей про Индиру и ее тетрадь.

1. Сколько страниц пронумеровала Индира?

Сначала найдем, сколько всего страниц было в тетради. Если на нечетных страницах используется 95 цифр, то:

• Для однозначных чисел (1, 3, 5, 7, 9) используется по 1 цифре. Всего таких чисел 5. Суммарно: 5 цифр.
• Для двузначных чисел (11, 13, ..., 99) используется по 2 цифры.

Давай посчитаем, сколько двузначных нечетных чисел нужно, чтобы получить 95 цифр.

Если бы все страницы были двузначными, то 95 цифр / 2 цифры на страницу = 47.5 страниц. Это значит, что страниц меньше 95.

Давай посчитаем, сколько цифр ушло на однозначные числа: 5 цифр (1, 3, 5, 7, 9).

Осталось цифр: 95 - 5 = 90 цифр.

Эти 90 цифр ушли на двузначные нечетные числа. Каждое такое число имеет 2 цифры, значит, таких чисел было: 90 / 2 = 45 чисел.

Всего нечетных страниц: 5 (однозначных) + 45 (двузначных) = 50 страниц.

2. Сколько раз встретилась цифра 7?

Теперь посмотрим, где могла встретиться цифра 7:

• В однозначных числах: 7 (один раз).
• В двузначных числах:
• Семерка на месте единиц: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Это 9 чисел.
• Семерка на месте десятков: 71, 73, 75, 77, 79. Это 5 чисел.

Обрати внимание, что число 77 мы посчитали дважды. Поэтому:

• Чисел, где 7 на месте единиц: 17, 27, 37, 47, 57, 67, (77), 87, 97 (9 чисел).
• Чисел, где 7 на месте десятков: 71, 73, 75, (77), 79 (5 чисел).

Общее количество двузначных чисел с цифрой 7: 9 + 5 - 1 (число 77) = 13 раз. Или проще: 7 на месте десятков - 5 раз (71, 73, 75, 77, 79). 7 на месте единиц, кроме 77 - 8 раз (17, 27, 37, 47, 57, 67, 87, 97).

Суммируем:

• Цифра 7 в однозначных числах: 1 раз (число 7).
• Цифра 7 в двузначных числах:
• Семерка на месте десятков: 5 раз (71, 73, 75, 77, 79).
• Семерка на месте единиц (кроме 77, чтобы не считать дважды): 8 раз (17, 27, 37, 47, 57, 67, 87, 97).

Итого: 1 + 5 + 8 = 14 раз.

НО! Мы посчитали 50 нечетных страниц. Значит, последняя страница была 99.

Давай пересчитаем, сколько раз цифра 7 встретилась на нечетных страницах от 1 до 99:

• В десятках: 71, 73, 75, 77, 79. Это 5 чисел.
• В единицах: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Это 10 чисел.

Суммируем:

• 1-9: 7 (1 раз)
• 11-19: 17 (1 раз)
• 21-29: 27 (1 раз)
• 31-39: 37 (1 раз)
• 41-49: 47 (1 раз)
• 51-59: 57 (1 раз)
• 61-69: 67 (1 раз)
• 71-79: 71, 73, 75, 77, 79 (5 раз в десятках + 1 раз в единицах = 6 раз).
• 81-89: 87 (1 раз)
• 91-99: 97 (1 раз)

Всего: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 + 1 + 1 = 15 раз.

Перепроверим:

Нечетные числа до 100: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., 99.

Всего нечетных чисел до 100: 50.

Сколько раз встречается цифра 7?

• Единицы: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Это 10 чисел.
• Десятки: 71, 73, 75, 77, 79. Это 5 чисел.

Число 77 посчитано дважды. Итого: 10 + 5 - 1 = 14 раз.

Но это все нечетные числа. А Индира написала 95 цифр. Мы выяснили, что это 50 нечетных страниц.

Давай посчитаем, сколько раз цифра 7 встречается на страницах с 1 по 99 (нечетные).

Числа с 7 в разряде единиц: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 (10 чисел). Поскольку все эти числа нечетные, цифра 7 здесь встречается 10 раз.

Числа с 7 в разряде десятков: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79. Из них нечетные: 71, 73, 75, 77, 79 (5 чисел). Цифра 7 здесь встречается 5 раз.

Число 77 содержит две семерки. Мы учли его в обоих случаях.

Общее количество цифр 7 в нечетных числах от 1 до 99: 10 (в единицах) + 5 (в десятках) = 15. Но 77 посчитали дважды, значит: 10 + 5 - 1 = 14 раз.

Уточнение: 95 цифр. Сколько страниц? Если бы только 7, 77, 777... то 95/1 = 95 страниц. Если только 77, 777... то 95/2 = 47.5 страниц. Если 7, 17, 27, ..., 71, 73, 75, 77, 79, ...

Давай посчитаем по другому: Сколько всего нечетных чисел до 95 цифр?

1-9: 5 чисел, 5 цифр.

11-19: 5 чисел, 10 цифр. Всего 15 цифр.

21-29: 5 чисел, 10 цифр. Всего 25 цифр.

31-39: 5 чисел, 10 цифр. Всего 35 цифр.

41-49: 5 чисел, 10 цифр. Всего 45 цифр.

51-59: 5 чисел, 10 цифр. Всего 55 цифр.

61-69: 5 чисел, 10 цифр. Всего 65 цифр.

71-79: 5 чисел, 10 цифр. Всего 75 цифр.

81-89: 5 чисел, 10 цифр. Всего 85 цифр.

91-99: 5 чисел, 10 цифр. Всего 95 цифр.

Значит, Индира пронумеровала страницы от 1 до 99, включая все нечетные числа.

Теперь считаем цифру 7:

• Единицы: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. (10 раз)
• Десятки: 71, 73, 75, 77, 79. (5 раз)

Число 77 содержит две семерки и было учтено в обоих случаях. Итого: 10 + 5 = 15 раз. Но так как 77 мы посчитали дважды, то 15 - 1 = 14 раз. Или 10 (единицы) + 4 (десятки, кроме 77) = 14 раз.

Ответ: 14