Задача 4.1. При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты: Размер месячного вклада, рубли Число вкладчиков Банк с рекламой Банк без рекламы До 500 500-520 520-540 540-560 560-580 580-600 600-620 620-640 Итого - - 11 13 18 6 2 50 3 4 17 15 6 - - 50 Определить: 1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада; 2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе. 3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы; 4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы; 5) Общую дисперсию, используя правило сложения; 6) Коэффициент детерминации; 7) Корреляционное отношение.

Решение:

Для расчетов будем использовать середину интервалов вклада.

1. Для каждого банка:

а) Средний размер вклада за месяц

• Банк с рекламой:


• Среднее значение: \( \bar{x}_{рекл} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i} \)


• Разделим интервалы на середины: 475, 510, 530, 550, 570, 590, 610, 630.


• \( \bar{x}_{рекл} = \frac{(475 \times 0) + (510 \times 0) + (530 \times 11) + (550 \times 13) + (570 \times 18) + (590 \times 6) + (610 \times 2) + (630 \times 0)}{50} = \frac{0 + 0 + 5830 + 7150 + 10260 + 3540 + 1220 + 0}{50} = \frac{28000}{50} = 560 \) рублей.


• Банк без рекламы:


• \( \bar{x}_{без} = \frac{(475 \times 3) + (510 \times 4) + (530 \times 17) + (550 \times 15) + (570 \times 6) + (590 \times 0) + (610 \times 0) + (630 \times 0)}{50} = \frac{1425 + 2040 + 9010 + 8250 + 3420 + 0 + 0 + 0}{50} = \frac{24145}{50} = 482.9 \) рублей.

б) Дисперсия вклада

• Банк с рекламой:


• \( D_{рекл} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_{рекл})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i} \)


• \( D_{рекл} = \frac{(475-560)^2 \times 0 + (510-560)^2 \times 0 + (530-560)^2 \times 11 + (550-560)^2 \times 13 + (570-560)^2 \times 18 + (590-560)^2 \times 6 + (610-560)^2 \times 2 + (630-560)^2 \times 0}{50} \)


• \( D_{рекл} = \frac{0 + 0 + (-30)^2 \times 11 + (-10)^2 \times 13 + (10)^2 \times 18 + (30)^2 \times 6 + (50)^2 \times 2 + 0}{50} = \frac{900 \times 11 + 100 \times 13 + 100 \times 18 + 900 \times 6 + 2500 \times 2}{50} = \frac{9900 + 1300 + 1800 + 5400 + 5000}{50} = \frac{23400}{50} = 468 \)


• Банк без рекламы:


• \( D_{без} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_{без})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i} \)


• \( D_{без} = \frac{(475-482.9)^2 \times 3 + (510-482.9)^2 \times 4 + (530-482.9)^2 \times 17 + (550-482.9)^2 \times 15 + (570-482.9)^2 \times 6}{50} \)


• \( D_{без} = \frac{(-7.9)^2 \times 3 + (27.1)^2 \times 4 + (47.1)^2 \times 17 + (67.1)^2 \times 15 + (87.1)^2 \times 6}{50} \)


• \( D_{без} = \frac{62.41 \times 3 + 734.41 \times 4 + 2218.41 \times 17 + 4502.41 \times 15 + 7586.41 \times 6}{50} = \frac{187.23 + 2937.64 + 37712.97 + 67536.15 + 45518.46}{50} = \frac{153892.45}{50} \approx 3077.85 \)

2. Средний размер вклада за месяц для двух банков вместе:

• Общее число вкладчиков = 50 + 50 = 100.


• Общая сумма вкладов = \( 560 \times 50 + 482.9 \times 50 = 28000 + 24145 = 52145 \).


• Средний размер вклада = \( \frac{52145}{100} = 521.45 \) рублей.

3. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы:

• \( D_{рекламы} = \frac{\sum n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{общ})^2}{\sum n_i} \)


• \( D_{рекламы} = \frac{50 \times (560 - 521.45)^2 + 50 \times (482.9 - 521.45)^2}{100} = \frac{50 \times (38.55)^2 + 50 \times (-38.55)^2}{100} \)


• \( D_{рекламы} = \frac{50 \times 1486.1025 + 50 \times 1486.1025}{100} = \frac{74305.125 + 74305.125}{100} = \frac{148610.25}{100} = 1486.1025 \)

4. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы (случайная/остаточная дисперсия):

• \( D_{ост} = \frac{\sum n_i D_i}{\sum n_i} \)


• \( D_{ост} = \frac{50 \times 468 + 50 \times 3077.85}{100} = \frac{23400 + 153892.5}{100} = \frac{177292.5}{100} = 1772.925 \)

5. Общая дисперсия, используя правило сложения:

• \( D_{общ} = D_{рекламы} + D_{ост} \)


• \( D_{общ} = 1486.1025 + 1772.925 = 3259.0275 \)

6. Коэффициент детерминации:

• \( R^2 = \frac{D_{рекламы}}{D_{общ}} = \frac{1486.1025}{3259.0275} \approx 0.4559 \)

7. Корреляционное отношение:

• \( η = \sqrt{R^2} = \sqrt{0.4559} \approx 0.6752 \)

Ответ:

1) а) Средний размер вклада: банк с рекламой - 560 руб., банк без рекламы - 482.9 руб.

б) Дисперсия вклада: банк с рекламой - 468, банк без рекламы - 3077.85.

2) Средний размер вклада для двух банков вместе - 521.45 руб.

3) Дисперсия, зависящая от рекламы - 1486.1025.

4) Дисперсия, зависящая от всех факторов, кроме рекламы - 1772.925.

5) Общая дисперсия - 3259.0275.

6) Коэффициент детерминации - 0.4559.

7) Корреляционное отношение - 0.6752.