Задача 3 Около прямоугольного ДАВС с прямым углом А описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если ∠C = 30°, АВ = 4,8 см.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, вписанном в окружность, гипотенуза AB является диаметром окружности.
• Угол ∠C = 30°, ∠A = 90°.
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В данном случае, катет AB противолежит углу ∠C = 30°, поэтому AB = 1/2 * BC.
• Однако, в условии задачи сказано, что прямой угол находится при вершине A (∠A = 90°). Следовательно, гипотенузой является сторона BC.
• Катет AB противолежит углу ∠C = 30°.
• По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где R — радиус описанной окружности.
• В нашем случае: \( \frac{AB}{\sin C} = 2R \).
• Подставляем известные значения: \( \frac{4.8}{\sin 30°} = 2R \).
• Поскольку \( \sin 30° = 0.5 \), получаем: \( \frac{4.8}{0.5} = 2R \).
• \( 9.6 = 2R \).
• \( R = \frac{9.6}{2} = 4.8 \) см.

Ответ: 4,8 см.