Задача 3. В прямоугольном треугольнике KPE ∠ P = 90°, ∠ K = 60°. На катете РЕ отметили точку М такую, что ∠ KMP = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 16см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике KPE: \( \angle P = 90^{\circ} \), \( \angle K = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник KME. \( \angle KME = 60^{\circ} \) (дано). \( \angle E = 30^{\circ} \) (найдено).
3. Тогда \( \angle KME = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \).
4. Таким образом, треугольник KME — прямоугольный с прямым углом M.
5. В прямоугольном треугольнике KME, катет, лежащий напротив угла \( 30^{\circ} \) (угол E), равен половине гипотенузы. Следовательно, \( KM = 2 x EM \).
6. В прямоугольном треугольнике KPE, \( PE = PK \tan(60^{\circ}) \). \( PE = PK \sqrt{3} \).
7. В прямоугольном треугольнике KME, \( EM = KM \tan(60^{\circ}) \). \( 16 = KM \sqrt{3} \). \( KM = \frac{16}{\sqrt{3}} \).
8. Теперь найдем PM. В прямоугольном треугольнике KPE: \( \cos(60^{\circ}) = \frac{PK}{KE} \). \( \frac{1}{2} = \frac{PK}{KE} \) => \( KE = 2 PK \).
9. \( PE = PM + ME \).
10. В треугольнике KME: \( KE \sin(60^{\circ}) = EM \). \( KE \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \). \( KE = \frac{32}{\sqrt{3}} \).
11. \( PK = \frac{KE}{2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \).
12. В прямоугольном треугольнике KMP: \( \cos(\angle KMP) = \frac{PM}{KM} \). \( \cos(60^{\circ}) = \frac{PM}{16/\sqrt{3}} \). \( \frac{1}{2} = \frac{PM}{16/\sqrt{3}} \). \( PM = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$ см.