Задача 3. Тепловое действие тока Два резистора подключены к источнику напряжением 120B последовательно. В первом резисторе сопротивлением 10 Ом за 5минут выделяется 60кДж теплоты. 1. Каково сопротивление второго резистора? 2. Какое количество теплоты выделяется на втором резисторе за время 5 минут? 3. На сколько градусов нагреется первый резистор за 20 с, если он изготовлен из стали и имеет массу 200 г? 4. Какой ток течет через резисторы? Под каким напряжением находится каждый резистор? 5. Каким станет мощность каждого резистора, если параллельно первому резистору подключить третий резистор сопротивлением 40 Ом? Удельная теплоемкость стали принять равным 500Дж/(кг*°С)

Решение:

Для решения этой задачи будем использовать закон Джоуля-Ленца и другие формулы из физики.

1. Сопротивление второго резистора:

1. Сначала найдём количество теплоты, выделяемое в первом резисторе, переведя килоджоули в джоули: \( Q_1 = 60 \text{ кДж} = 60 \times 1000 \text{ Дж} = 60000 \text{ Дж} \).
2. Переведём время из минут в секунды: \( t = 5 \text{ мин} = 5 \times 60 \text{ с} = 300 \text{ с} \).
3. Из закона Джоуля-Ленца \( Q = I^2 R t \) найдём силу тока \( I \), протекающего через первый резистор. Так как резисторы подключены последовательно, ток через них одинаков.
4. \( I^2 = \frac{Q_1}{R_1 t} \)
5. \( I = \sqrt{\frac{Q_1}{R_1 t}} = \sqrt{\frac{60000 \text{ Дж}}{10 \text{ Ом} \times 300 \text{ с}}} = \sqrt{\frac{60000}{3000}} = \sqrt{20} \) А.
6. Теперь, зная общее напряжение источника \( U = 120 \text{ В} \) и силу тока \( I \), найдём общее сопротивление цепи по закону Ома \( U = I R_{общ} \):
7. \( R_{общ} = \frac{U}{I} = \frac{120 \text{ В}}{\sqrt{20}} \) Ом.
8. Так как резисторы соединены последовательно, общее сопротивление равно сумме сопротивлений: \( R_{общ} = R_1 + R_2 \).
9. \( R_2 = R_{общ} - R_1 = \frac{120}{\sqrt{20}} - 10 \) Ом.
10. \( R_2 \approx \frac{120}{4.472} - 10 \approx 26.83 - 10 \approx 16.83 \) Ом.

Ответ: Сопротивление второго резистора примерно 16.83 Ом.

2. Количество теплоты на втором резисторе:

1. Мы уже нашли силу тока \( I = \sqrt{20} \) А и сопротивление второго резистора \( R_2 \approx 16.83 \) Ом. Время \( t = 300 \text{ с} \).
2. Используем закон Джоуля-Ленца: \( Q_2 = I^2 R_2 t \).
3. \( Q_2 = (\sqrt{20})^2 \times 16.83 \text{ Ом} \times 300 \text{ с} = 20 \times 16.83 \times 300 = 100980 \text{ Дж} \).
4. Переведём в килоджоули: \( Q_2 = 100.98 \text{ кДж} \).

Ответ: На втором резисторе выделится примерно 100.98 кДж теплоты.

3. Нагрев первого резистора:

1. Сначала найдём количество теплоты, выделяемое первым резистором за 20 секунд.
2. Сила тока \( I = \sqrt{20} \) А, сопротивление \( R_1 = 10 \text{ Ом} \), время \( t = 20 \text{ с} \).
3. \( Q_{R1} = I^2 R_1 t = (\sqrt{20})^2 \times 10 \text{ Ом} \times 20 \text{ с} = 20 \times 10 \times 20 = 4000 \text{ Дж} \).
4. Теперь используем формулу для нагрева: \( Q = c m \Delta T \), где \( Q \) — количество теплоты, \( c \) — удельная теплоемкость, \( m \) — масса, \( \Delta T \) — изменение температуры.
5. Выразим \( \Delta T \): \( \Delta T = \frac{Q}{c m} \).
6. Масса дана в граммах, переведём в килограммы: \( m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг} \).
7. Удельная теплоемкость стали \( c = 500 \text{ Дж/(кг} \times \text{°С)} \).
8. \( \Delta T = \frac{4000 \text{ Дж}}{500 \text{ Дж/(кг} \times \text{°С)} \times 0.2 \text{ кг}} = \frac{4000}{100} = 40 \text{ °С} \).

Ответ: Первый резистор нагреется на 40 °С.

4. Ток и напряжение на каждом резисторе:

1. Ток через оба резистора мы уже нашли: \( I = \sqrt{20} \) А, что приблизительно равно 4.47 А.
2. Теперь найдём напряжение на каждом резисторе, используя закон Ома \( U = I R \):
3. На первом резисторе: \( U_1 = I R_1 = \sqrt{20} \text{ А} \times 10 \text{ Ом} = 10\sqrt{20} \text{ В} \approx 44.72 \text{ В} \).
4. На втором резисторе: \( U_2 = I R_2 = \sqrt{20} \text{ А} \times 16.83 \text{ Ом} \approx 4.472 \times 16.83 \text{ В} \approx 75.28 \text{ В} \).
5. Проверка: \( U_1 + U_2 = 44.72 + 75.28 = 120 \text{ В} \), что соответствует напряжению источника.

Ответ: Ток через резисторы составляет примерно 4.47 А. Напряжение на первом резисторе примерно 44.72 В, на втором — примерно 75.28 В.

5. Мощность резисторов при параллельном подключении третьего резистора:

1. Теперь первый резистор \( R_1 = 10 \text{ Ом} \) подключен параллельно к третьему резистору \( R_3 = 40 \text{ Ом} \). Это новая цепь, которая подключена к источнику \( U = 120 \text{ В} \).
2. Сначала найдём общее сопротивление этой параллельной ветви:
3. \( R_{13} = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} = \frac{10 \text{ Ом} \times 40 \text{ Ом}}{10 \text{ Ом} + 40 \text{ Ом}} = \frac{400}{50} = 8 \text{ Ом} \).
4. Теперь найдём общий ток, который течёт через источник, который равен току через вторую ветвь (где будет находиться первый и третий резистор): \( I_{общ} = \frac{U}{R_{13}} = \frac{120 \text{ В}}{8 \text{ Ом}} = 15 \text{ А} \).
5. Ток, текущий через первый резистор \( R_1 \), найдём по закону Ома: \( I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{120 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 12 \text{ А} \).
6. Ток, текущий через третий резистор \( R_3 \), найдём по закону Ома: \( I_3 = \frac{U}{R_3} = \frac{120 \text{ В}}{40 \text{ Ом}} = 3 \text{ А} \).
7. Проверка: \( I_1 + I_3 = 12 \text{ А} + 3 \text{ А} = 15 \text{ А} \), что равно общему току.
8. Теперь найдём мощность каждого резистора по формуле \( P = U I \) или \( P = \frac{U^2}{R} \):
9. Мощность первого резистора: \( P_1 = U I_1 = 120 \text{ В} \times 12 \text{ А} = 1440 \text{ Вт} \) (или \( P_1 = \frac{120^2}{10} = \frac{14400}{10} = 1440 \text{ Вт} \)).
10. Мощность второго резистора (он остается прежним и подключен последовательно к этой новой параллельной цепи). Нам нужно пересчитать ток через вторую ветвь. В данном случае, вопрос некорректен, так как во второй части вопроса про мощность спрашивается про мощность КАЖДОГО резистора, но при этом изменяется схема подключения только первого резистора. Если предположить, что имеется в виду, что первый резистор теперь подключен параллельно третьему, а вся эта сборка подключена к источнику, и мы хотим узнать мощность КАЖДОГО из трех резисторов, то:
11. Напряжение на параллельно соединенных резисторах \( R_1 \) и \( R_3 \) равно напряжению источника, то есть \( 120 \text{ В} \).
12. Мощность первого резистора: \( P_1 = \frac{U^2}{R_1} = \frac{(120 \text{ В})^2}{10 \text{ Ом}} = \frac{14400}{10} = 1440 \text{ Вт} \).
13. Мощность третьего резистора: \( P_3 = \frac{U^2}{R_3} = \frac{(120 \text{ В})^2}{40 \text{ Ом}} = \frac{14400}{40} = 360 \text{ Вт} \).
14. Если же вопрос подразумевает, что второй резистор остался последовательно подключенным к параллельной группе из первого и третьего резисторов, то:
15. Общее сопротивление цепи будет \( R_{общ.новая} = R_{13} + R_2 = 8 \text{ Ом} + 16.83 \text{ Ом} = 24.83 \text{ Ом} \).
16. Ток через всю цепь: \( I_{общ.новая} = \frac{U}{R_{общ.новая}} = \frac{120 \text{ В}}{24.83 \text{ Ом}} \approx 4.83 \text{ А} \).
17. Ток через второй резистор будет \( I_2 = I_{общ.новая} \approx 4.83 \text{ А} \).
18. Мощность второго резистора: \( P_2 = I_2^2 R_2 \approx (4.83 \text{ А})^2 \times 16.83 \text{ Ом} \approx 23.33 \times 16.83 \approx 392.4 \text{ Вт} \).
19. Напряжение на параллельной ветви \( R_1 \) и \( R_3 \): \( U_{13} = I_{общ.новая} \times R_{13} \approx 4.83 \text{ А} \times 8 \text{ Ом} \approx 38.64 \text{ В} \).
20. Ток через первый резистор: \( I_1 = \frac{U_{13}}{R_1} \approx \frac{38.64 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} \approx 3.864 \text{ А} \).
21. Мощность первого резистора: \( P_1 = I_1^2 R_1 \approx (3.864)^2 \times 10 \approx 14.93 \times 10 \approx 149.3 \text{ Вт} \).
22. Ток через третий резистор: \( I_3 = \frac{U_{13}}{R_3} \approx \frac{38.64 \text{ В}}{40 \text{ Ом}} \approx 0.966 \text{ А} \).
23. Мощность третьего резистора: \( P_3 = I_3^2 R_3 \approx (0.966)^2 \times 40 \approx 0.933 \times 40 \approx 37.3 \text{ Вт} \).
24. Наиболее вероятно, что вопрос подразумевает, что первый резистор подключается параллельно третьему, и вся эта сборка подключается к источнику напряжения 120В, а второе сопротивление уже не участвует в цепи. В этом случае, мощность первого резистора 1440 Вт, а мощность третьего резистора 360 Вт. Если же все три резистора участвуют, то мощность первого ~149.3 Вт, второго ~392.4 Вт, третьего ~37.3 Вт. Так как в вопросе спрашивается «каким станет мощность каждого резистора», и упоминается подключение «третий резистор сопротивлением 40 Ом», подразумевается, что это новое состояние цепи. Самое логичное предположение — это что первая и третья резисторы соединены параллельно, и эта сборка подключена к источнику 120В.

Ответ: Если первый и третий резисторы соединены параллельно и подключены к источнику 120 В: мощность первого резистора составит 1440 Вт, мощность третьего резистора — 360 Вт.