Задача № 3. «Сок со льдом» В стакан налили т₁ = 250 г сока при температуре t₁ = 18°С. В сок опустили m₂ = 30 г льда при температуре t₂ = -8°С. Когда лёд растаял, температура напитка стала t₃ = 10°C. Определите удельную теплоёмкость сока, если удельная теплоёмкость воды ср = 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплоёмкость льда с₁ = 2100 Дж/(кг· °С), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. Теплоёмкостью стакана пренебречь.

Решение:

1. Количество теплоты, полученное льдом:

Лёд сначала нагревается до 0°C, а затем плавится.

\( Q_1 = m_2 c_1 (0 - t_2) \)

\( Q_2 = m_2 \lambda \)

\( Q_{3} = m_2 c_p (t_3 - 0) \)

Здесь \( c_p \) — удельная теплоёмкость воды, так как лёд растаял и стал водой.

2. Количество теплоты, отданное соком:

Сок охладился от \( t_1 \) до \( t_3 \), отдав количество теплоты:

\( Q_{сок} = m_1 c_{сок} (t_1 - t_3) \)

3. Принцип теплового баланса:

Количество теплоты, отданное соком, равно количеству теплоты, полученному льдом:

\( Q_{сок} = Q_1 + Q_2 + Q_3 \)

\( m_1 c_{сок} (t_1 - t_3) = m_2 c_1 (0 - t_2) + m_2 \lambda + m_2 c_p (t_3 - 0) \)

4. Выразим удельную теплоёмкость сока \( c_{сок} \):

\( c_{сок} = \frac{m_2 c_1 (0 - t_2) + m_2 \lambda + m_2 c_p (t_3 - 0)}{m_1 (t_1 - t_3)} \)

5. Подставим значения (не забывая перевести граммы в килограммы и кДж в Дж):

\( m_1 = 0.250 \text{ кг} \)

\( m_2 = 0.030 \text{ кг} \)

\( t_1 = 18 °С \)

\( t_2 = -8 °С \)

\( t_3 = 10 °С \)

\( c_1 = 2100 \text{ Дж/(кг} · °С)} \)

\( \lambda = 330 \cdot 1000 \text{ Дж/кг} = 330000 \text{ Дж/кг} \)

\( c_p = 4200 \text{ Дж/(кг} · °С)} \)

\( c_{сок} = \frac{0.030 \text{ кг} \cdot 2100 \text{ Дж/(кг} · °С)} (0 - (-8)) °С + 0.030 \text{ кг} \cdot 330000 \text{ Дж/кг} + 0.030 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг} · °С)} (10 - 0) °С}{0.250 \text{ кг} (18 - 10) °С} \)

\( c_{сок} = \frac{0.030 \cdot 2100 · 8 + 0.030 · 330000 + 0.030 · 4200 · 10}{0.250 · 8} \)

\( c_{сок} = \frac{504 + 9900 + 1260}{2} = \frac{11664}{2} = 5832 \text{ Дж/(кг} · °С)} \)

Ответ: Удельная теплоёмкость сока \( c_{сок} = 5832 \text{ Дж/(кг} · °С)} \).