Задача 3. Доказать, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямые \(a\) и \(b\) параллельны, причём \(a\parallel\alpha\), где \(\alpha\) — данная плоскость. Рассмотрим два случая.

1. Если \(b\) не пересекает плоскость \(\alpha\), то по определению \(b\parallel\alpha\).
2. Если \(b\) пересекает \(\alpha\) в точке \(P\), проведём в плоскости \(\alpha\) прямую через \(P\), параллельную \(a\). Такая прямая существует, поскольку направление прямой \(a\) параллельно плоскости \(\alpha\). Через точку \(P\) проходит единственная прямая, параллельная \(a\), а \(b\parallel a\). Значит, эта прямая совпадает с \(b\), поэтому \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).

В обоих случаях получаем: прямая \(b\) либо параллельна плоскости \(\alpha\), либо лежит в ней.