Задача 3: Дано: \cup AB : \cup BC : \cup CD : \cup DA = 3:2:13:7. Найти: \angle AMB

Решение:

• Общая сумма дуг окружности равна 360°.
• Пусть \cup AB = 3x, \cup BC = 2x, \cup CD = 13x, \cup DA = 7x.
• Сумма всех дуг: 3x + 2x + 13x + 7x = 360°.
• 25x = 360°.
• x = \frac{360}{25} = \frac{72}{5} = 14.4°.
• \cup AB = 3 * 14.4° = 43.2°.
• \cup BC = 2 * 14.4° = 28.8°.
• \cup CD = 13 * 14.4° = 187.2°.
• \cup DA = 7 * 14.4° = 100.8°.
• Проверка: 43.2 + 28.8 + 187.2 + 100.8 = 360°.
• \angle AMB - угол, образованный пересечением хорд AB и CD.
• На рисунке M - точка пересечения хорд AC и BD.
• Если M - точка пересечения хорд AC и BD, то \angle AMB = \frac{1}{2} (\cup AB + \cup CD).
• \angle AMB = \frac{1}{2} (43.2° + 187.2°) = \frac{1}{2} (230.4°) = 115.2°.
• Если M - точка пересечения хорд AD и BC.
• Тогда \angle AMB = \frac{1}{2} (\cup AB + \cup CD) - это тот же результат.
• Если M - точка пересечения хорд AB и CD.
• Тогда \angle AMB = \frac{1}{2} (\cup AD + \cup BC) = \frac{1}{2} (100.8° + 28.8°) = \frac{1}{2} (129.6°) = 64.8°.
• Исходя из рисунка, M - точка пересечения хорд AC и BD.

Ответ: \angle AMB = 115.2°