Задача №2 В угол К = 60° вписана окружность. Расстояние от вершины угла до центра окружности равно 16 см. Найдите радиус этой окружности.

Задача №2

Дано: Угол K = 60°. Окружность вписана в угол. Расстояние от вершины угла до центра окружности (обозначим его как d) = 16 см.

Найти: Радиус окружности (r).

Решение:

1. Свойство вписанной окружности: Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
2. Биссектриса: Биссектриса делит угол пополам. Значит, угол между биссектрисой и стороной угла K равен: 60° / 2 = 30°.
3. Прямоугольный треугольник: Пусть О — центр окружности, а А — точка касания окружности со стороной угла. Тогда треугольник OAK будет прямоугольным (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, т.е. ∠OAK = 90°).
4. Отношение сторон в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике OAK, катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет OA — это радиус окружности (r), а гипотенуза OK — это расстояние от вершины угла до центра окружности (d = 16 см).
5. Формула: Следовательно, r = d * sin(30°).
6. Вычисление: r = 16 см * 0.5 = 8 см.

Ответ: 8 см