Задача 24.3 #185827 ЕГЭ 2026 основная волна, Сибирь В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания (1 → 2), изохорного охлаждения (2 → 3) и адиабатного сжатия (3 → 1). Отношение работы А12, совершённой газом в изобарном процессе, к работе А31, совершённой над газом при адиабатном сжатии равно 2. Определите КПД этой тепловой машины.

Решение:

Тепловая машина работает по циклу, состоящему из трёх процессов:

1. Изобарное нагревание (1 → 2): В этом процессе давление газа постоянно. Работа, совершённая газом, равна \( A_{12} = p \Delta V \).
2. Изохорное охлаждение (2 → 3): В этом процессе объём газа постоянен, \( \Delta V = 0 \), следовательно, работа, совершённая газом, равна \( A_{23} = 0 \).
3. Адиабатное сжатие (3 → 1): В этом процессе теплообмен с окружающей средой отсутствует. Работа, совершённая над газом, равна \( A'_{31} \). Работа, совершённая газом, \( A_{31} = -A'_{31} \).

По условию задачи, отношение работы \( A_{12} \) к работе \( A'_{31} \) равно 2:

\[ \frac{A_{12}}{A'_{31}} = 2 \Rightarrow A_{12} = 2 A'_{31} \]

Расчёт работы:

Для одноатомного газа при адиабатном процессе \( pV^\gamma = \text{const} \), где \( \gamma = c_p/c_v = 5/3 \) для одноатомного газа.

Работа в адиабатном процессе рассчитывается как:

\[ A_{31} = \frac{p_1 V_1 - p_3 V_3}{ \gamma - 1} = \frac{p_1 V_1 - p_3 V_3}{5/3 - 1} = \frac{3}{2} (p_1 V_1 - p_3 V_3) \]

Теплота, полученная газом:

В изобарном процессе газ получает теплоту \( Q_{12} \). Согласно первому закону термодинамики:

\[ Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12} \]

КПД тепловой машины:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется как отношение полезной работы к полученной теплоте:

\[ \eta = \frac{A_{\text{пол}}}{|Q_H|} \]

Вычисление:

Полезная работа цикла равна разности работ, совершённой газом и над газом:

\[ A_{\text{пол}} = A_{12} + A_{23} + A_{31} = A_{12} + 0 + A_{31} \]

Из условия \( A_{12} = 2 A'_{31} \), а \( A_{31} = -A'_{31} \), то есть \( A'_{31} = -A_{31} \). Следовательно, \( A_{12} = -2 A_{31} \).

Подставим это в выражение для полезной работы:

\[ A_{\text{пол}} = -2 A_{31} + A_{31} = -A_{31} \]

Полученная теплота \( |Q_H| \) — это теплота, полученная в изобарном процессе \( Q_{12} \).

\[ \eta = \frac{-A_{31}}{Q_{12}} \]

Из первого закона термодинамики для изобарного процесса:

\[ Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12} \]

Для одноатомного газа \( \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \) и \( A = n R \Delta T \) в изобарном процессе. Следовательно, \( \Delta U_{12} = \frac{3}{2} A_{12} \).

\[ Q_{12} = A_{12} + \frac{3}{2} A_{12} = \frac{5}{2} A_{12} \]

Подставим \( A_{12} = -2 A_{31} \) в выражение для \( Q_{12} \):

\[ Q_{12} = \frac{5}{2} (-2 A_{31}) = -5 A_{31} \]

Теперь подставим в формулу КПД:

\[ \eta = \frac{-A_{31}}{-5 A_{31}} = \frac{1}{5} = 0.2 \]

Таким образом, КПД равен 0.2 или 20%.

Ответ: 0.2