Задача 2. В течение 20 с ракета поднимается с постоянным ускорением 8 м/с², после чего двигатели ракеты выключаются. На какой максимальной высоте побывала ракета?

Решение:

Дано:

• Время разгона \( t_1 = 20 \) с
• Ускорение \( a = 8 \) м/с²
• Начальная скорость \( v_0 = 0 \) м/с (ракета стартует с места)
• Ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с² (для расчёта подъёма после выключения двигателей)

Найти:

• Максимальная высота \( h_{max} \)

Объяснение:

Задача состоит из двух этапов: подъём с ускорением и подъём по инерции под действием силы тяжести.

Ход решения:

1. Этап 1: Подъём с ускорением
• Найдем скорость ракеты к моменту выключения двигателей: \( v_1 = v_0 + a \cdot t_1 \)
• \( v_1 = 0 + 8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ с} = 160 \text{ м/с} \)
• Найдем высоту, на которую поднялась ракета за время разгона: \( h_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{a \cdot t_1^2}{2} \)
• \( h_1 = 0 \cdot 20 \text{ с} + \frac{8 \text{ м/с}^2 \cdot (20 \text{ с})^2}{2} = \frac{8 \cdot 400}{2} \text{ м} = 1600 \text{ м} \)
2. Этап 2: Подъём по инерции
• После выключения двигателей ракета продолжает подниматься по инерции, но замедляется под действием силы тяжести \( g \).
• Найдем высоту, на которую ракета поднимется, используя формулу: \( v^2 = v_1^2 - 2 g h_2 \), где \( v \) — конечная скорость (когда ракета достигнет максимальной высоты, \( v = 0 \)).
• \( 0 = (160 \text{ м/с})^2 - 2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot h_2 \)
• \( 0 = 25600 \text{ м}^2/\text{с}^2 - 19.6 \text{ м/с}^2 \cdot h_2 \)
• \( 19.6 \text{ м/с}^2 \cdot h_2 = 25600 \text{ м}^2/\text{с}^2 \)
• \( h_2 = \frac{25600}{19.6} \text{ м} \approx 1306.12 \text{ м} \)
3. Общая максимальная высота:
• \( h_{max} = h_1 + h_2 \)
• \( h_{max} = 1600 \text{ м} + 1306.12 \text{ м} ≈ 2906.12 \text{ м} \)

Ответ: Максимальная высота, на которой побывала ракета, составляет примерно 2906.12 м.