Задача 2. В двадцатипятитиэтажном доме трое зашли в лифт на первом этаже. Какова вероятность, что все выйдут (а) на 17 этажа, (б) на любом одном этаже, (в) на разных этажах. Ответьте на эти вопросы для пятиэтажного дома.

Решение:

Для двадцатипятиэтажного дома:

а. Вероятность того, что все выйдут на 17 этаже:

Каждый из трех человек может выйти на любом из \( 24 \) этажей (со 2-го по 25-й). Общее число исходов: \( 24^3 \).

Благоприятный исход: все трое выходят на 17 этаже. Есть только \( 1 \) такой исход.

Вероятность \( P(A) = \frac{1}{24^3} = \frac{1}{13824} \).

б. Вероятность того, что все выйдут на любом одном этаже:

Все трое могут выйти на одном этаже. Есть \( 24 \) таких этажа (со 2-го по 25-й). Число благоприятных исходов: \( 24 \).

Вероятность \( P(B) = \frac{24}{24^3} = \frac{1}{24^2} = \frac{1}{576} \).

в. Вероятность того, что все выйдут на разных этажах:

Число способов выбрать \( 3 \) разных этажа из \( 24 \) и распределить людей по ним (размещения):

\[ A_{24}^3 = 24 \times 23 \times 22 = 12144 \]

Вероятность \( P(C) = \frac{A_{24}^3}{24^3} = \frac{24 \times 23 \times 22}{24 \times 24 \times 24} = \frac{23 \times 22}{24 \times 24} = \frac{506}{576} = \frac{253}{288} \).

Для пятиэтажного дома:

Всего этажей для выхода: \( 5 - 1 = 4 \) (со 2-го по 5-й).

а. Вероятность того, что все выйдут на 17 этаже (в 5-этажном доме такого этажа нет, поэтому вероятность 0):

Вероятность \( P(A') = 0 \).

б. Вероятность того, что все выйдут на любом одном этаже:

Число благоприятных исходов: \( 4 \) (все на 2-м, или на 3-м, или на 4-м, или на 5-м).

Общее число исходов: \( 4^3 = 64 \).

Вероятность \( P(B') = \frac{4}{4^3} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \).

в. Вероятность того, что все выйдут на разных этажах:

Число способов выбрать \( 3 \) разных этажа из \( 4 \) и распределить людей по ним (размещения):

\[ A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24 \]

Общее число исходов: \( 4^3 = 64 \).

Вероятность \( P(C') = \frac{A_4^3}{4^3} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8} \).

Ответ: Для 25-этажного дома: а. \( \frac{1}{13824} \); б. \( \frac{1}{576} \); в. \( \frac{253}{288} \). Для 5-этажного дома: а. \( 0 \); б. \( \frac{1}{16} \); в. \( \frac{3}{8} \).