Задача 2: Определи количество четырехзначных чисел, у которых сумма цифр, стоящих в разряде тысяч и единиц, равна сумме цифр, стоящих в разряде сотен и десятков. Например, в числе 1234 суммы равны, так как 1 + 4 = 5 и 2 + 3 = 5.

Решение:

Обозначим четырехзначное число как \( \overline{abcd} \), где \( a \) — цифра тысяч, \( b \) — сотен, \( c \) — десятков, \( d \) — единиц.

Условие задачи: \( a + d = b + c \).

Разберём по разрядам:

1. Цифра тысяч (a): Может быть от 1 до 9 (9 вариантов).
2. Цифра единиц (d): Может быть от 0 до 9 (10 вариантов).
3. Сумма цифр \( a + d \): Минимальная сумма \( 1 + 0 = 1 \), максимальная \( 9 + 9 = 18 \).
4. Цифры сотен (b) и десятков (c): Каждая может быть от 0 до 9 (10 вариантов).

Для каждого возможного значения суммы \( S = a + d \), нам нужно найти количество пар \( (b, c) \) таких, что \( b + c = S \).

При фиксированных \( a \) и \( d \), их сумма \( S = a + d \) может варьироваться от 1 до 18. Для каждой такой суммы \( S \), нам нужно посчитать, сколько пар \( (b, c) \) удовлетворяют условию \( b + c = S \), где \( 0 \le b \le 9 \) и \( 0 \le c \le 9 \).

Количество пар \( (b, c) \) для заданной суммы \( S \) можно посчитать следующим образом:

• Если \( 0 ≤ S ≤ 9 \), то количество пар равно \( S + 1 \). (Например, для S=2: (0,2), (1,1), (2,0) — 3 пары).
• Если \( 10 ≤ S ≤ 18 \), то количество пар равно \( 19 - S \). (Например, для S=16: (7,9), (8,8), (9,7) — 3 пары, что равно 19-16=3).

Теперь нужно просуммировать количество пар \( (b, c) \) для всех возможных пар \( (a, d) \).

Более простой подход:

Для каждой из 9000 четырёхзначных чисел (от 1000 до 9999) проверить условие.

Можно сгенерировать все возможные суммы \( b+c \) и \( a+d \) и подсчитать их количество. Максимальная сумма для \( b+c \) и \( a+d \) равна 18. Минимальная сумма для \( a+d \) равна 1 (1+0), для \( b+c \) равна 0 (0+0).

Сумма \( S = b + c \) может принимать значения от 0 до 18. Количество пар \( (b, c) \) для каждой суммы \( S \) (где \( 0 ≤ b, c ≤ 9 \)):

• S=0: 1 пара (0,0)
• S=1: 2 пары (0,1), (1,0)
• S=2: 3 пары (0,2), (1,1), (2,0)
• ...
• S=9: 10 пар
• S=10: 9 пар
• ...
• S=18: 1 пара (9,9)

Пусть \( N(S) \) — количество пар \( (b, c) \) с суммой \( S \). Так, \( N(S) = S+1 \) для \( 0 ≤ S ≤ 9 \) и \( N(S) = 19-S \) для \( 10 ≤ S ≤ 18 \).

Пусть \( M(S) \) — количество пар \( (a, d) \) с суммой \( S \) (где \( 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ d ≤ 9 \)).

Нам нужно найти \( ∑_{S=1}^{18} M(S) × N(S) \).

Подсчитаем \( M(S) \):

• S=1: (1,0) - 1 пара
• S=2: (1,1), (2,0) - 2 пары
• ...
• S=9: (1,8), (2,7), ..., (9,0) - 9 пар
• S=10: (1,9), (2,8), ..., (9,1) - 9 пар
• S=11: (2,9), (3,8), ..., (9,2) - 8 пар
• ...
• S=18: (9,9) - 1 пара

Таблица \( M(S) \) и \( N(S) \) и их произведение \( M(S) × N(S) \):

Суммируем значения в последнем столбце: \( 2+6+12+20+30+42+56+72+90+81+64+49+36+25+16+9+4+1 = 615 \).

Таким образом, существует 615 таких четырёхзначных чисел.

Альтернативный (более простой) подход:

Рассмотрим пары \( (a, d) \) и \( (b, c) \).

Для \( a \) есть 9 вариантов (1-9), для \( d \) — 10 вариантов (0-9). Итого 90 пар \( (a, d) \).

Для \( b \) есть 10 вариантов (0-9), для \( c \) — 10 вариантов (0-9). Итого 100 пар \( (b, c) \).

Условие \( a + d = b + c \) означает, что мы должны найти соответствие между этими парами.

Можно посчитать количество пар \( (a, d) \) для каждой возможной суммы \( S = a+d \) (от 1 до 18) и количество пар \( (b, c) \) для каждой возможной суммы \( S' = b+c \) (от 0 до 18). Затем просуммировать произведение количеств для равных сумм.

Количество пар \( (a, d) \) с суммой \( S \):

• S=1: 1 (1,0)
• S=2: 2 (1,1), (2,0)
• ...
• S=9: 9 (1,8)...(9,0)
• S=10: 9 (1,9)...(9,1)
• S=11: 8 (2,9)...(9,2)
• ...
• S=18: 1 (9,9)

Количество пар \( (b, c) \) с суммой \( S' \):

• S'=0: 1 (0,0)
• S'=1: 2 (0,1),(1,0)
• ...
• S'=9: 10 (0,9)...(9,0)
• S'=10: 9 (1,9)...(9,1)
• ...
• S'=18: 1 (9,9)

Сумма всех \( M(S) × N(S) \) для \( S=a+d \) и \( S'=b+c \), где \( S=S' \) (с учётом \( a ≠ 0 \) для \( M(S) \) и \( b, c ≥ 0 \) для \( N(S) \)):

• \( S=1 – 18 \).
• \( a+d=S ⇒ M(S) \)
• \( b+c=S ⇒ N(S) \)
• \( ∑_{S=1}^{18} M(S) × N(S) \).

Количество пар \( (a,d) \) для суммы \( S \) (\(a ≥ 1, d ≥ 0\)):

• S=1: 1
• S=2: 2
• ...
• S=9: 9
• S=10: 9
• S=11: 8
• ...
• S=18: 1

Количество пар \( (b,c) \) для суммы \( S \) (\(b ≥ 0, c ≥ 0\)):

• S=0: 1
• S=1: 2
• ...
• S=9: 10
• S=10: 9
• ...
• S=18: 1

Теперь просуммируем произведения \( M(S) × N(S) \) для \( S = 1 – 18 \):

\( 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 × 10 + 9 × 9 + 8 × 8 + 7 × 7 + 6 × 6 + 5 × 5 + 4 × 4 + 3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 \) = \( 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 90 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 615 \).

Ответ: 615.