Задача 2. На чертеже НМ – медиана, АС = 48 дм. Найдите НМ

Решение:

В данном треугольнике \( ∠ A = 30^° \).

\( HM \) – медиана, следовательно, \( AM = MC = AC/2 \).

\( AC = 48 \) дм, значит, \( AM = MC = 48/2 = 24 \) дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ABH \). \( ∠ BAH = 30^° \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BHC \), \( BH \) является высотой, а \( HM \) — медианой.

Если рассмотреть треугольник \( △ BHC \), то \( ∠ C \) нам неизвестен.

Из условия задачи, \( HM \) — медиана, а \( BH \) — высота.

В прямоугольном треугольнике \( △ ABH \): \( BH = AB ∙ ⁡ \sin(30^°) \).

Также, \( AH = AB ∙ ⁡ \cos(30^°) \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BHC \), по теореме Пифагора: \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).

В треугольнике \( △ BHC \), \( HM \) — медиана. По теореме о медиане, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, если бы \( ∠ BHC = 90^° \), то \( HM = BM = MC \).

Однако, \( ∠ BHC = 90^° \) — это только если \( BH \) является высотой и \( ∠ C \) равен 90 градусов, что не так.

Рассмотрим, что \( ∠ B = 90^° \) и \( BH ⊥ AC \).

В прямоугольном \( △ ABH \): \( BH = AB ∙ \sin 30^° = AB/2 \).

В прямоугольном \( △ ABC \), \( BH \) — высота, проведенная из вершины прямого угла.

Следовательно, \( AH = AC ∙ \cos^2 A = 48 ∙ (\cos 30^°)^2 = 48 ∙ (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 48 ∙ \frac{3}{4} = 36 \) дм.

\( HC = AC - AH = 48 - 36 = 12 \) дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ BHC \). \( BH = AB ∙ \sin 30^° \). Также \( AB = AC ∙ \cos 30^° = 48 ∙ \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \) дм.

\( BH = 24\sqrt{3} ∙ \frac{1}{2} = 12\sqrt{3} \) дм.

В прямоугольном треугольнике \( △ BHC \): \( BC^2 = BH^2 + HC^2 = (12\sqrt{3})^2 + 12^2 = 144 ∙ 3 + 144 = 432 + 144 = 576 \).

\( BC = \sqrt{576} = 24 \) дм.

\( HM \) — медиана в треугольнике \( △ BHC \) к стороне \( BC \). Нет, \( HM \) — медиана к стороне \( AC \).

\( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC = 24 \) дм.

В треугольнике \( △ BHC \) \( HM \) — медиана. По теореме о медиане:

\( BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \) — это медиана к стороне \( AC \) из вершины \( B \).

Нам нужна медиана \( HM \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BHC \) \( HM \) — медиана к стороне \( BC \). Нет.

\( HM \) — это высота в треугольнике \( △ BMC \).

Рассмотрим треугольник \( △ BHC \). \( HC = 12 \) дм, \( BH = 12√3 \) дм.

\( M \) — середина \( AC \), значит \( MC = 24 \) дм.

\( H \) лежит на \( AC \).

В прямоугольном \( △ BHC \), \( HM \) — отрезок, соединяющий вершину \( H \) с серединой \( M \) стороны \( AC \).

У нас есть \( ∠ C \) в \( △ BHC \). \( ⁡ \tan C = ⁡ BH/HC = 12√3 / 12 = √3 \).

Следовательно, \( ∠ C = 60^° \).

В \( △ BMC \), \( MC = 24 \) дм, \( BC = 24 \) дм, \( ∠ C = 60^° \).

Так как \( MC = BC \) и \( ∠ C = 60^° \), то \( △ BMC \) — равносторонний.

Тогда \( BM = MC = BC = 24 \) дм.

\( HM \) — медиана в треугольнике \( △ BHC \) к стороне \( BC \). Нет.

\( HM \) — медиана в \( △ ABC \) к стороне \( AC \). Нет, \( BM \) — медиана.

\( HM \) — это отрезок. \( H \) — основание высоты \( BH \), \( M \) — середина \( AC \).

В \( △ BHC \) \( ∠ BHC = 90^° \), \( HC = 12 \), \( BC = 24 \), \( ∠ C = 60^° \).

\( M \) — середина \( AC \).

Рассмотрим \( △ BHM \). \( ∠ BHM \) не известен.

В \( △ BHC \), \( HM \) — отрезок, где \( M \) — середина \( AC \).

\( MC = 24 \) дм.

В \( △ BHC \), \( BH = 12√3 \) дм, \( HC = 12 \) дм.

\( MH \) — это катет в прямоугольном \( △ BHM \).

Нам нужен \( ∠ BMH \).

В \( △ BMC \), \( MC = 24 \) дм, \( BC = 24 \) дм, \( ∠ C = 60^° \). Значит \( △ BMC \) — равносторонний. \( BM = 24 \) дм.

Теперь рассмотрим \( △ BHM \). \( BH = 12√3 \), \( BM = 24 \).

\( HM \) — медиана, проведенная из вершины \( B \) к стороне \( AC \). Мы нашли, что \( BM=24\).

В задаче дано, что \( HM \) — медиана. Это означает, что \( M \) — середина \( AC \).

Так как \( AC = 48 \) дм, то \( AM = MC = 24 \) дм.

В \( △ ABC \), \( ∠ B = 90^° \), \( ∠ A = 30^° \), \( ∠ C = 60^° \).

\( BH \) — высота, \( H \) на \( AC \).

В \( △ BHC \) (прямоугольном), \( HC = BC ∙ \cos 60^° \).

\( BC = AC ∙ \sin 30^° = 48 ∙ 1/2 = 24 \) дм.

\( HC = 24 ∙ 1/2 = 12 \) дм.

\( BH = BC ∙ \sin 60^° = 24 ∙ √3/2 = 12√3 \) дм.

\( AH = AC - HC = 48 - 12 = 36 \) дм.

\( M \) — середина \( AC \), \( AM = MC = 24 \) дм.

\( HM = |AM - AH| = |24 - 36| = |-12| = 12 \) дм.

Проверка:

В \( △ BHM \) (прямоугольном, т.к. \( BH ⊥ AC \)), \( BM^2 = BH^2 + HM^2 = (12√3)^2 + 12^2 = 432 + 144 = 576 \).

\( BM = √576 = 24 \) дм.

В \( △ BMC \): \( BC = 24 \), \( MC = 24 \), \( BM = 24 \). \( △ BMC \) — равносторонний. \( ∠ C = 60^° \).

Это соответствует нашим расчетам.

Ответ: 12 дм.