Задача 2. Лёд на привязи. В цилиндрическом сосуде с площадью дна S с помощью нити удерживают под водой кусок льда, внутри которого имеется воздушная полость (рис. 1). Объем льда вместе с полостью равен V, плотность льда ρл. После того, как лёд растаял, уровень воды в сосуде уменьшился на h. Найдите: 1) объем Vп воздушной полости; 2) силу Т натяжения нити в начале опыта. Примечание. Плотность воды ρв и ускорение свободного падения g считайте известными.

Решение:

1. Объём воздушной полости \( V_п \)

В начальный момент времени кусок льда с воздушной полостью удерживается под водой нитью. На лёд действует сила Архимеда, сила тяжести и сила натяжения нити. Состояние равновесия описывается уравнением:

\( F_A = F_{тяж.льда} + F_{тяж.воздуха} + T \)

Сила Архимеда, действующая на лёд, равна весу вытесненной воды:

\( F_A = \rho_в · g · V \)

Сила тяжести льда:

\( F_{тяж.льда} = m_{льда} · g = \rho_л · V_{льда} · g \)

Объём льда без полости:

\( V_{льда} = V - V_п \)

Сила тяжести воздуха в полости:

\( F_{тяж.воздуха} = m_{воздуха} · g = \rho_в · V_п · g \)

Подставляем всё в уравнение равновесия:

\( \rho_в · g · V = \rho_л · (V - V_п) · g + \rho_в · V_п · g + T \)

Упрощаем, разделив на \( g \):

\( \rho_в · V = \rho_л · V - \rho_л · V_п + \rho_в · V_п + \frac{T}{g} \)

После того, как лёд растаял, уровень воды уменьшился на \( h \). Это означает, что объём растаявшего льда, который теперь находится в воде, равен объёму вытесненной воды. Плотность воды \( \rho_в \).

Объём воды, который был занят льдом и полостью, стал меньше. Новый объём воды в сосуде соответствует начальному объёму воды, но без объёма льда, который теперь находится в воде. Изменение уровня воды \( h \) связано с тем, что лёд, имея меньшую плотность, всплывал, а вода, которая была в полости, теперь смешалась с основной массой воды. Уменьшение уровня воды на \( h \) означает, что объём, занимаемый растаявшим льдом и воздушной полостью, теперь меньше. Изменение объёма воды в сосуде равно объёму, который занимала эта масса воды до таяния, минус объём, который она занимает после. Уменьшение уровня на \( h \) означает, что объём \( V \) (лёд + полость) занял меньше места, чем \( V_п \) воздуха и \( V_{льда} \).

При таянии льда объём воды увеличивается на объём, вытесненный той частью льда, которая была над водой. Однако, здесь лёд под водой. Уменьшение уровня воды на \( h \) происходит потому, что растаявший лёд (с плотностью \( \rho_л \)) превратился в воду (с плотностью \( \rho_в \)). Объём, который занимал лёд, равнялся \( V \). Объем воды, полученный из этого льда, равен \( V · \frac{\rho_л}{\rho_в} \).

Объем воды в сосуде после таяния льда уменьшился на \( S \u00B7 h \). Этот уменьшенный объём соответствует объёму, который ранее занимали лёд и полость, но теперь там только вода.

Объём воды, который ранее был занят льдом и полостью, теперь меньше на \( S \u00B7 h \). Таким образом, объём растаявшего льда, перешедшего в воду, уменьшил общий объём воды в сосуде.

Объём воды, полученный из растаявшего льда:

\( V_{воды · из · льда} = V_{льда} · \frac{\rho_л}{\rho_в} = (V - V_п) \cdot \frac{\rho_л}{\rho_в} \)

Воздушная полость \( V_п \) также имеет свой объём.

Общее изменение объёма, вызванное таянием льда и наличием полости, приводит к уменьшению уровня воды на \( h \).

Уравнение для изменения уровня воды:

\( S · h = V - V_{воды · из · льда} - V_п \)

\( S · h = V - (V - V_п) \cdot \frac{\rho_л}{\rho_в} - V_п \)

\( S · h = V - V · \frac{\rho_л}{\rho_в} + V_п \cdot \frac{\rho_л}{\rho_в} - V_п \)

\( S · h = V (1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}) - V_п (1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}) \)

\( S · h = (V - V_п) (1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}) \)

\( S · h = (V - V_п) (\frac{\rho_в - \rho_л}{\rho_в}) \)

Из этого уравнения выразим \( V_п \):

\( \frac{S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} = V - V_п \)

\( V_п = V - \frac{S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} \)

\( V_п = \frac{V (· \rho_в - \rho_л) - S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} \)

\( V_п = \frac{V · \rho_в - V · \rho_л - S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} \)

\( V_п = \frac{\rho_в (V - S · h) - V · \rho_л}{\rho_в - \rho_л} \)

2. Сила \( T \) натяжения нити в начале опыта

Вернёмся к уравнению равновесия до таяния льда:

\( \rho_в · g · V = \rho_л · (V - V_п) · g + \rho_в · V_п · g + T \)

Выразим \( T \):

\( T = \rho_в · g · V - \rho_л · (V - V_п) · g - \rho_в · V_п · g \)

\( T = g \cdot [\rho_в · V - \rho_л · V + \rho_л · V_п - \rho_в · V_п] \)

\( T = g \cdot [V (· \rho_в - \rho_л) - V_п (\rho_в - \rho_л)] \)

\( T = g \cdot (V - V_п) \cdot (\rho_в - \rho_л) \)

Теперь подставим выражение для \( V_п \) из первой части:

\( V - V_п = \frac{S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} \)

\( T = g · \frac{S · h · \rho_в}{\rho_в - \rho_л} · (\rho_в - \rho_л) \)

\( T = g · S · h · \rho_в \)

Ответ:

1) \( V_п = V - \frac{S \cdot h \cdot \rho_в}{\rho_в - \rho_л} = \frac{\rho_в (V - S \cdot h) - V \cdot \rho_л}{\rho_в - \rho_л} \)

2) \( T = \rho_в gSh \)