Задача №2. «Больше теплых шаров» (10 баллов). Экспериментатор Глюк опускает в литровый сосуд с водой чугунный шар массой 120 г, нагретый до 90 °C, в результате чего температура воды повышается от 15 °C до 20 °C. Какая температура установится в сосуде, если положить в него ещё такой же шар, не вынимая при этом первого? Сколько всего шаров нужно положить в сосуд, чтобы в нём установилась температура больше 50 °C? Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплоёмкость чугуна 500 Дж/(кг · °C), плотность чугуна 7000 кг/м³. Теплоёмкостью сосуда и потерями теплоты можно пренебречь.

Обозначим теплоёмкость одного шара: \(C_ш=m_ш c_ш\).

\(m_ш=0.12\) кг, поэтому

\[C_ш=0.12\cdot500=60\ \text{Дж/°C}.\]

По результату первого опыта найдём теплоёмкость воды. Шар отдал теплоту, равную теплоте, полученной водой:

\[C_ш(90-20)=C_в(20-15).\]

\[60\cdot70=C_в\cdot5,\qquad C_в=840\ \text{Дж/°C}.\]

При добавлении второго шара первый шар и вода имеют температуру 20 °C, а второй шар — 90 °C. Поэтому

\[(C_в+C_ш)(T_2-20)=C_ш(90-T_2).\]

\[(840+60)(T_2-20)=60(90-T_2),\]

\[900T_2-18000=5400-60T_2,\]

\[960T_2=23400,\qquad T_2=24.375\ ^\circ\text{C}.\]

Для \(n\) шаров применим закон сохранения энергии сразу ко всей системе: вода первоначально имеет температуру 15 °C, а все \(n\) шаров — 90 °C.

\[C_в\cdot15+nC_ш\cdot90=(C_в+nC_ш)T_n.\]

Подставим найденные теплоёмкости:

\[T_n=\frac{840\cdot15+60n\cdot90}{840+60n}=\frac{210+90n}{14+n}.\]

Требуется \(T_n>50\):

\[\frac{210+90n}{14+n}>50.\]

Так как \(14+n>0\),

\[210+90n>700+50n,\]

\[40n>490,\qquad n>12.25.\]

Минимальное целое значение: \(n=13\).

Проверка: \(T_{12}=\frac{1290}{26}\approx49.6\ ^\circ\text{C}\), а \(T_{13}=\frac{1380}{27}\approx51.1\ ^\circ\text{C}\).

Объём 13 шаров равен \(13\cdot\frac{0.12}{7000}\approx0.000223\ \text{м}^3=0.223\ \text{л}\), поэтому они помещаются в литровый сосуд.

Ответ: при добавлении второго шара установится температура примерно 24.4 °C; всего нужно 13 шаров.