Задача 19. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна \(3\sqrt{3}\). Найдите высоту пирамиды.

В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины равно радиусу описанной окружности:

\[R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро — гипотенуза:

\[h^2+R^2=5^2.\]

Тогда:

\[h=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4.\]

Ответ: 4.