Задача 15: Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

Решение:

Обозначим стороны равнобедренного треугольника как \( a, a, b \).

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: \( P = a + a + b = 2a + b \).

По условию, периметр равен 36 см, значит, \( 2a + b = 36 \).

Сумма двух сторон равна 26 см. Возможны два случая:

1. Случай 1: Сумма двух равных сторон равна 26 см.

\( a + a = 26 \) \(\implies\) \( 2a = 26 \) \(\implies\) \( a = 13 \) см.

Теперь найдем третью сторону \( b \) из уравнения периметра: \( 2a + b = 36 \).

\( 2(13) + b = 36 \)

\( 26 + b = 36 \)

\( b = 36 - 26 = 10 \) см.

Проверим условие существования треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны.

\( 13 + 13 > 10 \) (26 > 10 - верно)

\( 13 + 10 > 13 \) (23 > 13 - верно)

Значит, стороны 13 см, 13 см, 10 см возможны.

2. Случай 2: Сумма одной равной стороны и основания равна 26 см.

\( a + b = 26 \).

Из уравнения периметра: \( 2a + b = 36 \).

Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = 26 - a \).

Подставим во второе уравнение:

\[ 2a + (26 - a) = 36 \]

\[ a + 26 = 36 \]

\[ a = 36 - 26 = 10 \) см.

Теперь найдем \( b \): \( b = 26 - a = 26 - 10 = 16 \) см.

Стороны получаются: 10 см, 10 см, 16 см.

Проверим условие существования треугольника:

\( 10 + 10 > 16 \) (20 > 16 - верно)

\( 10 + 16 > 10 \) (26 > 10 - верно)

Значит, стороны 10 см, 10 см, 16 см также возможны.

Ответ: Стороны треугольника могут быть 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.