Задача 14. Со ступеньки высотой h под некоторым углом к горизонту бросают тело. Известно, что полное время движения тела равно t. Найти отношение времени подъёма тела до верхней точки траектории ко времени спуска от верхней точки до поверхности земли.

Пусть вертикальная составляющая начальной скорости равна \(v_{0y}\). Время подъёма до верхней точки:

\[t_1=\frac{v_{0y}}{g}.\]

Полное время движения до земли определяется уравнением вертикального движения:

\[0=h+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}.\]

Отсюда

\[v_{0y}=\frac{gt}{2}-\frac{h}{t}.\]

Тогда

\[t_1=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{t}{2}-\frac{h}{gt}.\]

Время спуска от верхней точки до земли:

\[t_2=t-t_1=\frac{t}{2}+\frac{h}{gt}.\]

Следовательно, искомое отношение:

\[\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{t}{2}-\frac{h}{gt}}{\frac{t}{2}+\frac{h}{gt}}=\frac{gt^2-2h}{gt^2+2h}.\]

Ответ: \(\dfrac{t_{\text{подъёма}}}{t_{\text{спуска}}}=\dfrac{gt^2-2h}{gt^2+2h}\).