Задача 14. Два сотрудника идут от офиса до склада по одному и тому же маршруту. Первый проходит этот путь за 15 минут, второй — за 20 минут. Второй вышел на 3 минуты раньше. Через сколько минут после своего выхода первый сотрудник догонит второго? Обоснуйте ответ.

Задача 14. Догонит ли первый второго?

Давай разберемся, как быстро двигаются сотрудники и когда первый догонит второго.

Шаг 1: Скорость сотрудников

Чтобы понять, кто быстрее, представим, что расстояние от офиса до склада — это 1 единица (или 100%).

• Скорость первого сотрудника: \( 1 \) путь за \( 15 \) минут, то есть \( v_1 = \frac{1}{15} \) пути в минуту.
• Скорость второго сотрудника: \( 1 \) путь за \( 20 \) минут, то есть \( v_2 = \frac{1}{20} \) пути в минуту.

Шаг 2: Время в пути

Второй сотрудник вышел на \( 3 \) минуты раньше. Когда первый сотрудник начал движение, второй уже прошел какое-то расстояние.

Расстояние, которое прошел второй за \( 3 \) минуты: \( S_2 = v_2 \times 3 = \frac{1}{20} \times 3 = \frac{3}{20} \) пути.

Шаг 3: Время догоняния

Теперь первый сотрудник должен пройти это расстояние \( \frac{3}{20} \) и еще догнать второго. Скорость, с которой первый догоняет второго, равна разнице их скоростей:

Скорость сближения: \( v_{сбл} = v_1 - v_2 = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \)

Приведем к общему знаменателю (60):

\[ v_{сбл} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \text{ пути в минуту.} \]

Шаг 4: Время, через которое первый догонит второго

Время, за которое первый догонит второго, равно расстоянию, которое второй прошел до начала движения первого, деленному на скорость сближения:

\[ t = \frac{\text{расстояние второго}}{\text{скорость сближения}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{1}{60}} \]

\[ t = \frac{3}{20} \times \frac{60}{1} = \frac{3 \times 60}{20} = 3 \times 3 = 9 \text{ минут.} \]

Обоснование:

Через 9 минут после своего выхода первый сотрудник догонит второго. За эти 9 минут первый пройдет \( \frac{1}{15} \times 9 = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \) пути. Второй сотрудник к этому моменту пройдет \( 3 \) минуты (фора) + \( 9 \) минут (вместе с первым) = \( 12 \) минут. За \( 12 \) минут второй пройдет \( \frac{1}{20} \times 12 = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \) пути. Таким образом, они окажутся в одной точке.

Ответ: 9 минут.