Задача 11 #131597 Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.

Краткая запись:

• Сторона равностороннего треугольника (a): \( 12\sqrt{3} \)
• Найти: Медиана (m_a) — ?

Пошаговое решение:

Способ 1: Через теорему Пифагора

1. Шаг 1: В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, делит ее пополам. Таким образом, основание прямоугольного треугольника, образованного медианой, будет равно половине стороны: \( \frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \).
2. Шаг 2: Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, где гипотенуза — сторона треугольника (\( a \)), один катет — половина стороны (\( \frac{a}{2} \)), а второй катет — медиана (\( m_a \)): \( m_a^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2} \).
3. Шаг 3: Подставляем значения: \( m_a^{2} + (6\sqrt{3})^{2} = (12\sqrt{3})^{2} \).
4. Шаг 4: Вычисляем квадраты: \( m_a^{2} + (36 \cdot 3) = (144 \cdot 3) \) \( m_a^{2} + 108 = 432 \).
5. Шаг 5: Находим \( m_a^{2} \): \( m_a^{2} = 432 - 108 = 324 \).
6. Шаг 6: Извлекаем квадратный корень: \( m_a = \sqrt{324} = 18 \).

Способ 2: Через формулу высоты равностороннего треугольника

1. Шаг 1: Формула высоты (и медианы) равностороннего треугольника: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
2. Шаг 2: Подставляем значение стороны: \( m_a = \frac{(12\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} \).
3. Шаг 3: Упрощаем: \( m_a = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} \).
4. Шаг 4: Вычисляем: \( m_a = 18 \).

Ответ: 18