ЗАДАЧА 1. Спортсмен преодолел дистанцию 5 км. Первый километр он пробежал за 3 мин, а на каждый последующий километр у него уходило на t секунд больше, чем на предыдущий. Найдите t, если известно, что средняя скорость на всем пути оказалось такой, как если бы спортсмен пробегал каждый километр за 3 мин 12 с.

Решение:

Обозначим время, затраченное на прохождение каждого километра: \( t_1, t_2, t_3, t_4, t_5 \). По условию, \( t_1 = 3 \) мин = 180 с.

Для каждого последующего километра время увеличивается на \( t \) секунд. Таким образом:

• \( t_2 = t_1 + t = 180 + t \) с
• \( t_3 = t_2 + t = 180 + 2t \) с
• \( t_4 = t_3 + t = 180 + 3t \) с
• \( t_5 = t_4 + t = 180 + 4t \) с

Общее время движения спортсмена:

\[ T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 = 180 + (180 + t) + (180 + 2t) + (180 + 3t) + (180 + 4t) \]

\[ T_{общ} = 5 × 180 + (1 + 2 + 3 + 4)t = 900 + 10t \] секунд.

Средняя скорость на всём пути равна средней скорости, если бы каждый километр был пройден за 3 мин 12 с = 192 с.

Тогда общее время составило бы: \( T_{идеал} = 5 × 192 = 960 \) секунд.

Приравниваем общее время с учётом \( t \) к идеальному общему времени:

\[ 900 + 10t = 960 \]

\[ 10t = 960 - 900 \]

\[ 10t = 60 \]

\[ t = \frac{60}{10} = 6 \] секунд.

Ответ: t = 6 секунд.